4 Ordenamos todos los números primos en orden ascendente: $p_1=2<p_2<p_3<\cdots$ . Suponga además que $n_1<n_2<\cdots$ es una sucesión de enteros positivos tal que para todo $i=1,2,3,\cdots$ la ecuación $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ tiene solución para $x$ . ¿Existe siempre un número $x$ que satisfaga todas las ecuaciones? Propuesto por Mahyar Sefidgaran , Yahya Motevasel

4 Una $n+1$ - tupla $\left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right)$ donde $h_i\left(x_1,x_2, \cdots , x_n\right)$ son polinomios de $n$ variables con coeficientes reales se llama buena si se cumple la siguiente condición: Para cualesquiera $n$ funciones $f_1,f_2, \cdots ,f_n : \mathbb R \to \mathbb R$ , si para todo $1 \le i \le n+1$ , $P_i(x)=h_i \left(f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) \right)$ es un polinomio en la variable $x$ , entonces $f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x)$ son polinomios. $a)$ Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , existe una $n+1$ - tupla buena $\left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right)$ tal que el grado de todos los $h_i$ es mayor que $1$ . $b)$ Demuestre que no existe ningún entero $n>1$ para el cual haya una $n+1$ - tupla buena $\left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right)$ tal que todos los $h_i$ sean polinomios simétricos. Propuesto por Alireza Shavali

6 En las celdas unitarias de una cinta transparente $1 \times 100$ , los números $1,2,\cdots,100$ están escritos en orden ascendente.Doblamos esta cinta por sus líneas en orden y direcciones arbitrarios hasta obtener una cinta $1 \times1$ con $100$ capas.En la cinta puede verse una permutación de los números $1,2,\cdots,100$ , de arriba hacia abajo. Demuestre que el número de permutaciones posibles está entre $2^{100}$ y $4^{100}$ . ( p. ej., podemos producir todas las permutaciones de los números $1,2,3$ con una cinta $1\times3$ ) Propuesto por Morteza Saghafian

5 $k,n$ son dos enteros positivos arbitrarios. Demuestre que existen al menos $(k-1)(n-k+1)$ enteros positivos que pueden producirse usando $n$ números $k$ y solo las operaciones $+,-,\times, \div$ y añadiendo paréntesis entre ellos, pero que no pueden producirse usando $n-1$ números $k$ . Propuesto por Aryan Tajmir

2 Sea $P$ un punto en el interior del cuadrilátero $ABCD$ tal que: $$\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC$$ Demuestre que: $$\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |$$ Propuesto por Ali Zamani

2 Encuentre el mayor número $n$ para el cual existen $n$ enteros positivos tales que ninguno de ellos divide a otro, pero entre cada tres de ellos, uno divide la suma de los otros dos. Propuesto por Morteza Saghafian

1 Sea $n>1$ un entero. Demuestre que existe un entero $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ tal que la siguiente ecuación tiene soluciones enteras con $a_m>0:$ $$\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}$$ Propuesto por Navid Safaei

1 $ABCD$ es un trapecio con $AB \parallel CD$ . Las diagonales se intersecan en $P$ . Sea $\omega _1$ un círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $A$ . Sea $\omega _2$ un círculo que pasa por $C$ y es tangente a $BD$ en $D$ . $\omega _3$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $BPC$ . Demuestre que la cuerda común de los círculos $\omega _1,\omega _3$ y la cuerda común de los círculos $\omega _2, \omega _3$ se intersecan entre sí sobre $AD$ . Propuesto por Kasra Ahmadi

6 Sea $k>1$ un entero. La sucesión $a_1,a_2, \cdots$ se define como: $a_1=1, a_2=k$ y para todo $n>1$ tenemos: $a_{n+1}-(k+1)a_n+a_{n-1}=0$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $a_n$ es una potencia de $k$ . Propuesto por Amirhossein Pooya

4 Hay $6$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos colineales. Se sabe que entre cada $4$ puntos de ellos, existe un punto cuya potencia con respecto al círculo que pasa por los otros tres puntos es un valor constante $k$ . (La potencia de un punto en el interior de un círculo tiene valor negativo.) Demuestre que $k=0$ y que los $6$ puntos están sobre un círculo. Propuesto por Morteza Saghafian