Los enteros del 1 al 1000 se escriben en línea, en algún orden, y se calculan todas las sumas de cada tres números consecutivos en la lista. Por ejemplo, si los 5 primeros números de la línea fueran 8, 231, 1000, 12, 400, las 3 primeras sumas serían $$8 + 231 + 1000 = 1239,$$ $$231 + 1000 + 12 = 1243,$$ $$1000 + 12 + 400 = 1412.$$ ¿Cúal es el máximo número de sumas impares que pueden obtenerse?

En un grupo con 2021 personas, cada una tiene un número de lista del 1 al 2021. Si se sabe que cada una de las personas con número de lista del 1 al 2020 estrechó la mano de exactamente tantas personas del grupo como su número de lista, ¿con cuántas personas estrechó la mano la persona con número de lista 2021?

El diagrama muestra tres cuadrados $PQRS, TRVU$ y $UWXY$. Los puntos $P, T$ y $X$ están alineados. El área de $PQRS$ es $36$, y el área de $TRVU$ es $16$. ¿Cuál es el área del triángulo $PXV$? [image]

Rodrigo fue caminando a casa de su amigo Arturo que vive a 1700 metros de su casa hacia el norte. Quiere regresar a su casa pero quiere caminar lo menos posible, así que tomará autobuses en dirección norte o sur. Lo malo es que desde casa de Arturo hacia el sur, los autobuses sólo se detienen cada 960 metros y en los mismos lugares en que ésos hacen parada, los autobuses hacia el norte sólo hacen parada cada 600 metros. ¿Cuántos metros tendrá que caminar si tomará tantos autobuses como sea necesario para caminar lo menos posible?

Sea $n$ un número entero mayor que 100 tal que el mínimo común múltiplo de los números $1, 2, 3, \ldots, n$ es igual que el mínimo común múltiplo de los números $101, 102, 103, \ldots, n$. Encontrar el menor valor posible de $n$.

Los vértices del prisma pentagonal que se muestra en la figura se etiquetan con los números del 1 al 10, uno en cada vértice, sin repetir; ya se han etiquetado cuatro vértices. Si en cada una de las 5 caras laterales las sumas de los 4 vértices que las forman son todas iguales, ¿qué posibilidades para la suma de la cara pentagonal superior hay? [image]

Con los números del 1 al 26 se quieren formar 13 fracciones, usando los números disponibles como numerador o denominador de manera que cada uno de ellos se use sólo una vez. Luego, cada fracción se simplifica. ¿Cuál es la máxima cantidad de enteros que se pueden obtener después de la simplificación?

En el triángulo $ABC$, $D$ y $E$ son los respectivos puntos sobre $AC$ y $BC$ de tal manera que $\angle ADB = \angle BDE = \angle EDC = 60^{\circ}$. Además $\angle ACB = 20^{\circ}$ y la bisectriz de este último intersecta a $DE$ en $F$ (ver la figura). Sea $X$ la intersección de $AE$ con $BF$. Probar que $XD$ es perpendicular a $AC$. [image]

En la figura, $BCD$ es un triángulo con ángulo recto en $C$, $AB$ es perpendicular a $BC$, $AD$ es un arco de círculo con centro en $B$ y $BD$ es un arco de círculo con centro en $C$. Probar que las áreas $X$ y $Y$ son iguales. [image]

¿Cuántos números entre 1500 y 1900 cumplen que al poner el signo de multiplicación entre la segunda y tercera cifras y realizar la multiplicación de los números de dos cifras que se forman, éste es un cuadrado perfecto? (Por ejemplo, dos números que cumplen la condición son: 1700 y 1872 pues $17 \times 0 = 0^{2}$ y $18 \times 72 = 1296 = 36^{2}$.)