4 Los números $a_{1}, a_{2}, ..., a_{20}$ satisfacen las siguientes condiciones: $a_{1} \ge a_{2} \ge ... \ge a_{20} \ge 0$ $a_{1} + a_{2} = 20$ $a_{3} + a_{4} + ... + a_{20} \le 20$ . ¿Cuál es el valor máximo de la expresión: $a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{20}^2$ ? ¿Para qué valores de $a_{1}, a_{2}, ..., a_{20}$ se alcanza el valor máximo?

Muestre que para todo entero positivo $n$ el número $7^n-1$ no es divisible por $6^n-1$ .

6 En el triángulo $\triangle ABC$ , $BC>AC$ , $I_B$ es el excéntrico $B$ , la recta que pasa por $C$ paralela a $AB$ corta a $BI_B$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $AI_B$ y la excircunferencia $A$ toca al lado $AB$ en $D$ . El punto $E$ satisface $\angle BAC=\angle BDE, DE=BC$ y se encuentra en el mismo lado de $AB$ que $C$ . Sea $EC$ que corta a $AB,FM$ en $P,Q$ respectivamente. Demuestre que $P,A,M,Q$ son concíclicos.

1 Sea $n$ un entero positivo. Hay un peón en una de las celdas de una tabla $n\times n$ . El peón se mueve de una celda arbitraria de la columna $k$ -ésima, $k \in \{1,2, \cdots, n \}$ , a una celda arbitraria de la fila $k$ -ésima. Demuestre que existe una sucesión de $n^{2}$ movimientos tal que el peón pasa por todas las celdas de la tabla y termina en la celda inicial.

2 El punto $P$ se encuentra en el interior, o en la frontera, del triángulo $ABC$ . Denote por $d_{a}$ , $d_{b}$ y $d_{c}$ las distancias entre $P$ y $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que $\max\{AP,BP,CP \} \ge \sqrt{d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}}$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 Sea $\mathbb{R}^{+}$ el conjunto de los números reales positivos. Halle todos los números reales $a$ para los cuales existe una función $f :\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tal que $3(f(x))^{2}=2f(f(x))+ax^{4}$ , para todo $x \in \mathbb{R}^{+}$ .

1 Para cada entero positivo $n$ , denote por $a_{n}$ el primer dígito de $2^{n}$ (en base diez). ¿Es racional el número $0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ ?

2 En el triángulo $ABC$ , $AM$ es mediana, $M \in BC$ , $BB_{1}$ y $CC_{1}$ son alturas, $C_{1} \in AB$ , $B_{1} \in AC$ . La recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AM$ corta a las rectas $BB_{1}$ y $CC_{1}$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Sea $k$ el círculo circunscrito de $\triangle EFM$ . Suponga además que $k_{1}$ y $k_{2}$ son círculos tangentes tanto a $EF$ como al arco $EF$ de $k$ que no contiene a $M$ . Si $P$ y $Q$ son los puntos en los que $k_{1}$ interseca a $k_{2}$ , demuestre que $P$ , $Q$ y $M$ son colineales.

3 Sea $G$ una gráfica dirigida con infinitos vértices. Se sabe que para cada vértice el grado de salida es mayor que el grado de entrada. Sea $O$ un vértice fijo de $G$ . Para un número positivo arbitrario $n$ , sea $V_{n}$ el número de vértices a los que se puede llegar desde $O$ recorriendo a lo sumo $n$ aristas ( $O$ cuenta). Halle el menor valor posible de $V_{n}$ .

3 Halle todas las funciones $f: \Re \to \Re$ : \[ f( x^{3} )+ f(y^{3}) = (x+y)(f(x^{2} )+f(y^{2} )-f(xy))\]