Los cuatro vértices de un cuadrado son los centros de cuatro círculos tales que la suma de sus áreas es igual al área del cuadrado. Tome un punto arbitrario en el interior de cada círculo. Pruebe que los cuatro puntos arbitrarios son los vértices de un cuadrilátero convexo.

Pruebe que para todos los enteros positivos $n\geq 1$ el número $\prod^n_{k=1} k^{2k-n-1}$ es también un número entero.

Se da el entero positivo $n$ y para todos los enteros positivos $k$ , $1\leq k\leq n$ , denotamos por $a_{kn}$ el número de todas las secuencias ordenadas $(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ de enteros positivos que verifican las siguientes dos condiciones: a) $1\leq i_1<i_2< \cdots i_k \leq n$ ; b) $i_{r+1}-i_r \equiv 1 \pmod 2$ , para todo $r \in\{1,2,\ldots,k-1\}$ . Calcule el número $a(n) = \sum\limits_{k=1}^n a_{kn}$ .

En el plano se dan las líneas $\ell_1$ , $\ell_2$ , el círculo $\mathcal{C}$ con su centro en la línea $\ell_1$ y un segundo círculo $\mathcal{C}_1$ que es tangente a $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\mathcal{C}$ . Encuentre el lugar geométrico del punto tangente entre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{C}_1$ mientras que el centro de $\mathcal{C}$ es variable en $\ell_1$ .

Las celdas de un tablero de ajedrez de $11\times 11$ se colorean en 3 colores. Pruebe que existe en el tablero un rectángulo de $m\times n$ tal que las cuatro celdas interiores al rectángulo y que contienen los cuatro vértices del rectángulo tienen el mismo color.

Demuestre que para todos los enteros positivos $0<a_1<a_2<\cdots <a_n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ (a_1+a_2+\cdots + a_n)^2 \leq a_1^3+a_2^3 + \cdots + a_n^3 . \]

Considere todos los polígonos regulares convexos y estrellados inscritos en un círculo dado y que tienen $n$ lados. Decimos que dos de tales polígonos son equivalentes si es posible obtener uno del otro usando una rotación alrededor del centro del círculo. ¿Cuántas clases de tales polígonos existen?

Sea $OABC$ un ángulo triedro tal que \[ \angle BOC = \alpha, \quad \angle COA = \beta, \quad \angle AOB = \gamma , \quad \alpha + \beta + \gamma = \pi . \] Para cualquier punto interior $P$ del ángulo triedro, sean $P_1$ , $P_2$ y $P_3$ las proyecciones de $P$ en las tres caras. Pruebe que $OP \geq PP_1+PP_2+PP_3$ .

Encuentre todos los vectores de $n$ números reales $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tales que \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 & = & \dfrac 1{x_2} + \dfrac 1{x_3} + \cdots + \dfrac 1{x_n } \\ x_2 & = & \dfrac 1{x_1} + \dfrac 1{x_3} + \cdots + \dfrac 1{x_n} \\ \ & \cdots & \\\ x_n & = & \dfrac 1{x_1} + \dfrac 1{x_2} + \cdots + \dfrac 1{x_{n-1}} \end{array} \right. \]

Considere una esfera y un plano $\pi$ . Para un punto variable $M \in \pi$ , exterior a la esfera, se considera el cono circular con vértice en $M$ y tangente a la esfera. Encuentre el lugar geométrico de los centros de todos los círculos que aparecen como puntos tangentes entre la esfera y el cono.