Determine todos los números reales $a$ tales que la ecuación: $$x^8+ax^4+1=0$$ tenga cuatro raíces reales que formen una progresión aritmética.

Sean $p$ y $n$ enteros positivos tales que $p$ es primo y $1 + np$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que el número $n + 1$ puede expresarse como la suma de $p$ cuadrados perfectos, donde algunos de ellos pueden ser iguales.

Sean $M$ y $N$ puntos sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ tales que $BM = CN$ ( $M$ está entre $B$ y $N$ ). Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $AN$ y $AM$ , respectivamente, de modo que $\angle PMC =\angle MAB$ y $\angle QNB = \angle NAC$ . Demuestre que $\angle QBC = \angle PCB$ .

Ocho fichas están ubicadas en un tablero de $8\times 8$ de modo que no haya dos de ellas en la misma fila ni en la misma columna. Demuestre que, entre las distancias entre cada par de fichas, podemos encontrar dos de ellas que sean iguales (la distancia entre dos fichas es la distancia entre los centros de las casillas en las que están ubicadas).

1 Determine todos los números reales $a$ para los cuales el sistema de ecuaciones \begin{align*} 3x^2+2y^2+2z^2&=a\\ 4x^2+4y^2+5z^2&=1-a \end{align*} tiene al menos una solución $(x,y,z)$ en los números reales.

2 En la antigüedad existía una tribu celta formada por varias familias. Muchas de estas familias estaban enemistadas entre sí, de modo que sus jefes no se daban la mano. En cierto momento, en la reunión anual de los jefes, resultó incluso imposible reunir a cuatro o más de ellos en un círculo en el que cada uno estuviera dispuesto a dar la mano a su vecino. Para enfatizar la gravedad de la situación, el druida recogió tres piezas de oro de cada familia. Luego, el druida dejó que todos aquellos jefes que estuvieran dispuestos se dieran la mano. Por cada apretón de manos entre dos jefes, les pagó a cada uno una pieza de oro como recompensa. Muestre que el número de piezas de oro recogidas por el druida supera al número de piezas pagadas en al menos tres.

2 Como todo el mundo sabe, los habitantes de Planilandia aman la Planimetría. Por ello, imaginan su país como completamente plano, cada ciudad del país como un punto geométrico y cada carretera como el segmento de recta que conecta dos puntos. Además de las ciudades existentes, es posible construir glorietas , es decir, puntos de la red de carreteras de los que parten al menos dos carreteras. Todos los cruces o intersecciones de carreteras se construyen como glorietas. A través de esta red de rutas, cada par de ciudades debe quedar conectado por una sucesión de carreteras y posiblemente glorietas. En Planilandia, la longitud de una carretera se toma como la longitud geométrica del segmento de recta correspondiente. El ingenioso ingeniero vial Armin Asphalt presenta un nuevo mapa de carreteras, del cual se sabe que no existe una red de carreteras con menor longitud total de todas las carreteras. Además, no existe un mapa de carreteras con la misma longitud total de todas las carreteras y menos glorietas. Demuestre que, en el mapa de carreteras de Armin Asphalt, de cada ciudad parten a lo sumo tres carreteras, y de cada glorieta parten exactamente tres.

3 Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AC$ de un triángulo $ABC$ , respectivamente. Sea $Q$ un punto sobre la recta que pasa por $N$ paralela a $BC$ tal que $Q$ y $C$ están en lados opuestos de $AB$ y $\vert QN\vert \cdot \vert BC\vert=\vert AB\vert \cdot \vert AC\vert$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $AQN$ interseca al segmento $MN$ una segunda vez en un punto $T \ne N$ . Demuestre que existe una circunferencia que pasa por los puntos $T$ y $N$ y es tangente tanto al lado $BC$ como a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo equilátero con circunferencia circunscrita $k$ . Una circunferencia $q$ es tangente exteriormente a $k$ en un punto $D$ , donde el punto $D$ sobre $k$ se elige de modo que $D$ y $C$ estén en lados diferentes de la recta $AB$ . Ahora trazamos las rectas tangentes desde $A,B$ y $C$ a la circunferencia $q$ y denotamos las longitudes de los respectivos segmentos tangentes por $a,b$ y $c$ . Demuestre que $a+b=c$ .

6 Considere funciones $f$ que satisfacen las siguientes cuatro condiciones: (1) $f$ es de valores reales y está definida para todos los números reales. (2) Para cualesquiera dos números reales $x$ y $y$ se tiene $f(xy)=f(x)f(y)$ . (3) Para cualesquiera dos números reales $x$ y $y$ se tiene $f(x+y) \le 2(f(x)+f(y))$ . (4) Se tiene $f(2)=4$ . Demuestre que: a) Existe una función $f$ con $f(3)=9$ que satisface las cuatro condiciones. b) Para toda función $f$ que satisface las cuatro condiciones, se tiene $f(3) \le 9$ .