Tres estudiantes escriben en la pizarra uno al lado del otro tres cuadrados de dos dígitos. Al final, observan que el número de 6 dígitos así obtenido también es un cuadrado. ¡Encuentra este número!

En el interior de un círculo centrado en $O$ considere los $1200$ puntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{1200}$, donde para cada $i,j$ con $1\le i\le j\le 1200$, los puntos $O,A_i$ y $A_j$ no son colineales. Pruebe que existen los puntos $M$ y $N$ en el círculo, con $\angle MON=30^{\circ}$, tales que en el interior del ángulo $\angle MON$ se encuentran exactamente $100$ puntos.

Encuentre todos los $n\in\mathbb{Z}$ tales que el número $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ es racional.

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario. Un círculo pasa por $B$ y $C$ e interseca las rectas $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las proyecciones de los puntos $B$ y $E$ sobre $CD$ se denotan por $B'$ y $E'$, respectivamente. Las proyecciones de los puntos $D$ y $C$ sobre $BE$ se denotan por $D'$ y $C'$, respectivamente. Pruebe que los puntos $B',D',E'$ y $C'$ están en el mismo círculo.

Se dan los conjuntos finitos $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_n$ y denotamos por $d(n)$ el número de elementos que aparecen exactamente en un número impar de conjuntos elegidos de $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_n$ . Pruebe que para cualquier $k$ , $1\leq k\leq n$ el número \[{ d(n) - \sum\limits^n_{i=1} |A_i| + 2\sum\limits_{ i<j} |A_i \cap A_j | - \cdots + (-1)^k2^{k-1} \sum\limits_{i_1 <i_2 <\cdots < i_k} | A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}|} \] es divisible por $2^k$ .

Sea $[a,b]$ un intervalo dado de números reales que no contiene enteros. Pruebe que existe $N>0$ tal que $[Na,Nb]$ no contiene números enteros y la longitud del intervalo $[Na,Nb]$ excede $\dfrac 16$ .

Sea $\Delta$ el conjunto de todos los triángulos en un plano. Considere la función $f: \Delta\to(0,\infty)$ definida por $f(ABC) = \min \left( \dfrac ba, \dfrac cb \right)$ , para cualquier triángulo $ABC$ con $BC=a\leq CA=b\leq AB = c$ . Encuentre el conjunto de valores de $f$ .

Sean $x,y,z$ números reales con $x+y+z=0$ . Pruebe que \[ |\cos x |+ |\cos y| +| \cos z | \geq 1 . \]

Sea $a$ un entero positivo. La secuencia $\{x_n\}_{n\geq 1}$ se define por $x_1=1$ , $x_2=a$ y $x_{n+2} = ax_{n+1} + x_n$ para todo $n\geq 1$ . Pruebe que $(y,x)$ es una solución de la ecuación \[ |y^2 - axy - x^2 | = 1 \] si y solo si existe un rango $k$ tal que $(y,x)=(x_{k+1},x_k)$ .

Sea $ p > 2$ un número primo. Encuentre el menor número positivo $ a$ que se puede representar como \[ a = (X - 1)f(X) + (X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1)g(X), \] donde $ f(X)$ y $ g(X)$ son polinomios enteros.