3 Demuestre que la ecuación $ p^{4}+q^{4}=r^{4}$ no tiene solución en el conjunto de los números primos.

2 Si $ a$ , $ b$ y $ c$ son números reales positivos, demuestre la desigualdad: \[ \left(1+\frac{4a}{b+c}\right)\left(1+\frac{4b}{a+c}\right)\left(1+\frac{4c}{a+b}\right) > 25.\]

2 Si $ a$ , $ b$ y $ c$ son números reales positivos tales que $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ , demuestre la desigualdad: \[ \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)}+ \frac {b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)}+\frac {c^{5}+a^{5}}{ca(a+b)}\geq 3(ab+bc+ca)-2.\]

1 Dos circunferencias con centros $ S_{1}$ y $ S_{2}$ son tangentes exteriormente en el punto $ K$ . Estas circunferencias son también tangentes interiormente a la circunferencia $ S$ en los puntos $ A_{1}$ y $ A_{2}$ , respectivamente. Denote por $ P$ uno de los puntos de intersección de $ S$ y la tangente común a $ S_{1}$ y $ S_{2}$ en $ K$ . La recta $ PA_{1}$ interseca a $ S_{1}$ en $ B_{1}$ , mientras que $ PA_{2}$ interseca a $ S_{2}$ en $ B_{2}$ . Demuestre que $ B_{1}B_{2}$ es la tangente común de las circunferencias $ S_{1}$ y $ S_{2}$ .

3 Una tabla rectangular de $ 9$ filas $ \times$ $ 2008$ columnas se llena con los números $ 1$ , $ 2$ , ... , $ 2008$ de tal manera que cada número aparece exactamente $ 9$ veces en la tabla y la diferencia entre dos números cualesquiera de la misma columna no es mayor que $ 3$ . ¿Cuál es el valor máximo de la suma mínima en una columna (con suma mínima)?

4 Determine si existe una función $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que: $i)$ $a(0)=0$ $ii)$ $a(n)=n-a(a(n))$ , $\forall n \in$ $ \mathbb{N}$ . Si existe, demuestre: $a)$ $a(k)\geq a(k-1)$ $b)$ No existe un entero positivo $k$ tal que $a(k-1)=a(k)=a(k+1)$ .

2002.1 Dos triángulos rectángulos isósceles congruentes (con longitud de la base $1$ ) se deslizan sobre una recta como en la figura. ¿Cuál es el área máxima de superposición? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/8/807bb5b760caaa600f0bac95358963a902b1e7.png

2003.2 Por un punto interior $O$ de $\Delta ABC$ se trazan $3$ rectas, paralelas a cada uno de los lados, que se intersecan en los puntos mostrados en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/3/03d4d1bb61eda8b4a72ff84466d700de47c147.png Halle el valor de $\frac{|AF|}{|AB|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|CN|}{|CA|}$ .

2005.2 Partiendo de dos puntos A y B, se construyen algunas circunferencias y puntos como se muestra en la figura: la circunferencia con centro A que pasa por B la circunferencia con centro B que pasa por A la circunferencia con centro C que pasa por A la circunferencia con centro D que pasa por B la circunferencia con centro E que pasa por A la circunferencia con centro F que pasa por A la circunferencia con centro G que pasa por A Muestre que $M$ es el punto medio de $AB$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/4/2352ab21cc19549f0381e88ddde9dce4299c2e.png

2005.4 (a) Sea M un punto interior del cuadrilátero convexo ABCD. Demuestre que $|MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB|$ . (b) Sea M un punto interior del triángulo ABC. Note $k=\min(|MA|,|MB|,|MC|)$ . Demuestre que $k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA|$ .