Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua y periódica, de período $ T. $ Si $ F $ es una primitiva de $ f, $ muestra que: a) la función $ G:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, G(x)=F(x)-\frac{x}{T}\int_0^T f(t)dt $ es periódica. b) $ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{F(i)}{n^2+i^2} =\frac{\ln 2}{2T}\int_0^T f(x)dx. $

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua tal que $$ \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx. $$ Muestra que hay un $ c\in (0,1) $ tal que $ f(c)=\int_0^c f(x)dx. $

Determine un paralelepípedo rectangular con área mínima, si su volumen es estrictamente mayor que $1000$, y las longitudes de sus lados son números enteros.

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Encuentre los enteros positivos $x$ \[\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots +\sqrt{x}}}<n \]

Sea $ABCDEF$ un hexágono con $AB||DE,\ BC||EF,\ CD||FA$ y en el cual las diagonales $AD,BE$ y $CF$ son congruentes. Pruebe que el hexágono se puede inscribir en un círculo.

Sea $n$ un entero no negativo. Encuentre todos los enteros no negativos $a,b,c,d$ tales que \[a^2+b^2+c^2+d^2=7\cdot 4^n\]

Determine todos los enteros positivos de la forma $a<b<c<d$ con la propiedad de que cada uno de ellos divide la suma de los otros tres.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en el círculo $O$. Para un punto $E\in O$, se consideran sus proyecciones $K,L,M,N$ sobre las rectas $DA,AB,BC,CD$, respectivamente. Pruebe que si $N$ es el ortocentro del triángulo $KLM$ para algún punto $E$, diferente de $A,B,C,D$, entonces esto se cumple para todo punto $E$ del círculo.

Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ con la propiedad de que para cada número real $x,y$, si $x+y\in A$ entonces $xy\in A$. Pruebe que $A=\mathbb{R}$.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Consideramos los puntos $E\in CA,F\in AB,G\in BC$ tales que $DC\perp CA,EF\perp AB$ y $EG\perp BC$. Resuelva en el conjunto de los números racionales la ecuación $AC^x=EF^x+EG^x$.