Exteriormente al trapecio $ABCD$ , de base menor $AB$ , se construyen los cuadrados $ADEF$ y $BCGH$ . Demuestre que la mediatriz de $AB$ pasa por el punto medio de $FH$ .

5 Sea $n$ un entero positivo. Los números $1, 2, 3, \dots, 4n$ están escritos en un pizarrón. Olive quiere formar algunas parejas de números tales que el producto de los dos números en cada par sea un cuadrado perfecto, cada número pertenezca a lo más a un par y los dos números en cada par sean distintos. Determina, para cada entero positivo $n$, el número máximo posible de parejas que Olive puede formar.

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo, y sea $M$ el punto de intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$. Sea $N$ un punto dentro del triángulo $AMB$ tal que $\angle AND = \angle BNC$. Demuestra que $\angle MNC = \angle NDA$ y $\angle MND = \angle NCB$.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Hay dos puntos $X$ y $Y$ sobre la bisectriz del ángulo $B\widehat AC$ tales que $X$ está entre $A$ y $Y$ y $BX$ es paralelo a $CY$. Sea $Z$ el reflejo de $X$ con respecto a $BC$. La recta $YZ$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Si la recta $BY$ corta a la recta $CX$ en el punto $K$, demuestra que $KA=KP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC > AB$ , tal que los puntos $A$ , $H$ , $I$ y $C$ son concíclicos (donde $H$ es el ortocentro e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ ) . La recta $AC$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ en el punto $T$ , y la recta $BC$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $AHC$ en el punto $P$ . Si las rectas $PT$ y $HI$ son paralelas, determine las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ .

2 Sean $m, n \ge 2$. Considera un tablero rectangular de $m \times n$. Queremos embaldosar el tablero usando únicamente los siguientes dos tipos de baldosas: Baldosa 1: Un cuadrado de $2 \times 2$ (que cubre exactamente $4$ celdas). Baldosa 2: Un pentominó en forma de L que consta de $5$ celdas; equivalentemente, un cuadrado de $3 \times 3$ al que se le ha quitado el subcuadrado de $2 \times 2$ en la esquina superior derecha. Se permiten rotaciones de las baldosas. Determina todos los pares $(m,n)$ para los cuales el tablero de $m \times n$ puede embaldosarse completamente usando estas baldosas.

4 Considere un polígono convexo que tiene $n$ vértices, $n\geq 4$ . Descomponemos arbitrariamente el polígono en triángulos cuyos vértices están todos entre los vértices del polígono, tal que no haya dos triángulos que tengan puntos interiores en común. Pintamos de negro los triángulos que tienen dos lados que también son lados del polígono, de rojo si solo un lado del triángulo es también un lado del polígono, y de blanco aquellos triángulos que no tienen ningún lado que sea lado del polígono. Demuestre que hay dos triángulos negros más que blancos.

1 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los números del $2$ al $2022$ de modo que el primer número sea múltiplo de $1$, el segundo número sea múltiplo de $2$, el tercer número sea múltiplo de $3$, y así sucesivamente hasta que el último número sea múltiplo de $2021$?

6 Un entero positivo $\text{N}$ está escrito en un pizarrón. En cada ronda, Olive puede realizar una de las siguientes operaciones: 1. Reemplazar el número actual por cualquier múltiplo positivo de él. 2. Reemplazar el número actual por un número formado al reordenar sus dígitos (se permiten ceros a la izquierda). Por ejemplo, si el número actual es $2022$, Olive puede obtener cualquiera de los números $222, 2202, 2220$. Determina todos los enteros positivos $\text{N}$ para los cuales Olive puede obtener el número $1$ después de un número finito de rondas.

5 Sean $n \ge 4$ y $k$ enteros positivos. Consideramos $n$ rectas en el plano entre las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. En cada uno de los $\frac{n(n-1)}{2}$ puntos de intersección de estas rectas, se colocan $k$ monedas. Ana y Beto juegan el siguiente juego por turnos: cada jugador, en su turno, elige uno de esos puntos que no comparta una de las $n$ rectas con el punto elegido inmediatamente antes por el otro jugador, y retira una moneda de ese punto. Ana empieza y puede elegir cualquier punto. El jugador que no puede hacer su movimiento pierde. Determina, en función de $n$ y $k$, quién tiene una estrategia ganadora.