6 Halle todos los números naturales $n$ tales que \[ 2^{n!}-1 \] es divisible por \[ (2^1-1)(2^2-1)\cdots(2^{\,n-1}-1)(2^n-1). \] (Aquí $n!$ denota el producto de todos los números naturales desde $1$ hasta $n$ . )

Se da un entero positivo $n$ ( $\ge 3$ ) . Halle el mayor número real $r$ tal que para cualesquiera números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$ con $a_i \le 0.6$ , $$ r |a_i - a_j| < 1 - a_i a_j $$ se cumple para algún $1 \le i < j \le n$ . Propuesto por Seho Jung Acorn-SJ

Halle todas las funciones $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen $$ f(x^2 - xy + y^2) = f(x)^2 - f(x)f(y) + f(y)^2 $$ para todos los enteros positivos $x$ , $y$ . Propuesto por Seunghwan Lee Acorn-SJ

Sea $n$ ( $ \ge 3$ ) un entero positivo. $\mathcal{P}$ es un conjunto de $n^3$ puntos distintos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Demuestre que es posible elegir un subconjunto $\mathcal{Q} \subset \mathcal{P}$ de tamaño $n$ tal que todo triángulo formado por tres puntos de $\mathcal{Q}$ tenga al menos un ángulo interior mayor o igual que $120^\circ$ . Propuesto por Wooju Ham Acorn-SJ

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AD \parallel BC$ , inscrito en una circunferencia $\omega$ . Sea $S$ ( $ \ne A$ ) el segundo punto de intersección de $\omega$ con la recta que une $A$ y el punto medio de $BC$ . Sea $X$ el punto de intersección de $BC$ y la tangente a $\omega$ en $D$ . Existe un punto $Y$ sobre la circunferencia circunscrita de $\triangle ADX$ tal que $\angle BAY = 90^\circ$ . Si $AS = AC$ , demuestre que $\angle ACY = 90^\circ$ . Propuesto por Hyunwoo Choi Acorn-SJ

Para 2026 números reales $x_1, x_2, \ldots, x_{2026}$ tales que $1 \le x_i \le 2$ para cada $i$ , encuentre el mínimo valor posible de $$\frac{x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{2025}x_{2026} + x_{2026}x_1}{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{2026}^2}.$$ Propuesto por Seho Jung

Igual que el de senior

2 Llame maravilloso a un entero si se puede representar como la suma de los cuadrados de dos enteros. Considere un conjunto formado por $n$ enteros consecutivos. Si todo elemento de este conjunto es maravilloso, llamamos a tal conjunto un superconjunto . Halle el mayor número natural $n$ para el cual existen infinitos superconjuntos formados por $n$ elementos.

3 Por el vértice $C$ del triángulo $ABC$ se traza una recta $\ell$ paralela a $AB$ . Una circunferencia con centro $O_1$ es tangente a $\ell$ , $AB$ y al segmento $AC$ , y una circunferencia con centro $O_2$ es tangente a $\ell$ , $AB$ y al segmento $BC$ , estando ambas circunferencias dentro del triángulo $ABC$ . Sobre el segmento $AB$ se elige un punto $N$ tal que $\angle AO_1N=\angle BO_2N$ . La bisectriz del ángulo $\angle ACB$ interseca las rectas $O_1N$ y $O_2N$ en los puntos $M$ y $K$ , respectivamente. Demuestre que el punto medio de $AB$ es el circuncentro del triángulo $MNK$ .

Nueve ayudantes de enseñanza se alojan en una cuadrícula de $3 \times 3$ habitaciones, con exactamente una persona en cada habitación. Son de naturaleza malévola, por lo que prohíben a los estudiantes cambiar de habitación, mientras que ellos mismos disfrutan haciéndolo. Cambian de habitación mediante una operación peculiar llamada intercambio : elija un bloque de $2 \times 2$ habitaciones de la cuadrícula e intercambie los ocupantes de cada par de habitaciones que estén en una diagonal del bloque. En la primera noche del campamento de invierno, los ayudantes realizaron un número finito de intercambios. Encontrando esto divertido, decidieron repetir exactamente la misma secuencia de intercambios cada noche posterior. Sin importar cómo se realizaron los intercambios en la primera noche, se garantiza que dentro de $N$ noches todos los ayudantes regresan a sus habitaciones originales. Halle el menor valor posible de $N$ . Propuesto por Wooju Ham Acorn-SJ