Determinar el entero positivo más pequeño $n$ tal que, para cualquier coloración de los elementos del conjunto $\{2,3,...,n\}$ con dos colores, la ecuación $x + y = z$ tiene una solución monocromática con $x \ne y$ . (Decimos que la ecuación $x + y = z$ tiene una solución monocromática si existen $a, b, c$ distintos, teniendo el mismo color, tales que $a + b = c$ . )

Determinar los enteros $x$ tales que $2^x + x^2 + 25$ es el cubo de un número primo.

Dado un triángulo agudo ${ABC}$ , construir triángulos ${ABD}$ y ${ACE}$ externamente, de modo que ${\angle ADB= \angle AEC=90^o}$ y ${\angle BAD= \angle CAE}$ . Sea ${{A}_{1}}\in BC,{{B}_{1}}\in AC$ y ${{C}_{1}}\in AB$ los pies de las alturas del triángulo ${ABC}$ , y sean $K$ y ${L}$ los puntos medios de $[ B{{C}_{1}} ]$ y ${CB_1}$ , respectivamente. Demostrar que los circuncentros de los triángulos $AKL,{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ y ${DEA_1}$ son colineales. (Bulgaria)

Dos triángulos rectángulos isósceles de catetos iguales a $1$ se pegan para formar un triángulo isósceles - llamado forma t - de cateto $\sqrt2$ , o un paralelogramo - llamado forma p - de lados $1$ y $\sqrt2$ . Encontrar todos los enteros $m$ y $n, m, n \ge 2$ , tales que un rectángulo $m \times n$ pueda ser cubierto con formas t y formas p.

Determinar los enteros $x$ e $y$ para los cuales $\sqrt{4^x + 5^y}$ es racional.

a) Encontrar: $A=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^{3} | a+b+c=3 , (6a+b^2+c^2)(6b+c^2+a^2)(6c+a^2+b^2) \neq 0\}$ b) Demostrar que para cualquier $(a,b,c) \in A$ se cumple la siguiente desigualdad: \begin{align*}\n\frac{a}{6a+b^2+c^2}+\frac{b}{6b+c^2+a^2}+\frac{c}{6c+a^2+b^2} \le \frac{3}{8}\n\end{align*}

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo acutángulo $ABC$. Demostrar que si las reflexiones de $P$ con respecto a los lados del triángulo se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo, entonces $P$ es el ortocentro de $ABC$.

Sea $ K$ un campo finito. Se dice que dos polinomios $ f,g $ de $ K[X] $ son vecinos, si tienen el mismo grado y difieren exactamente en un coeficiente. a) Muestra que todos los vecinos de $ 1+X^2 $ de $ \mathbb{Z}_3[X] $ son reducibles en $ \mathbb{Z}_3[X] . $ b) Si $ |K|\ge 4, $ muestra que cualquier polinomio de grado $ |K|-1 $ de $ K[X] $ tiene un vecino de $ K[X] $ que es reducible en $ K[X] , $ y también tiene un vecino que no tiene ninguna raíz en $ K. $

Sea $ K$ un campo finito. Se dice que dos polinomios $ f,g $ de $ K[X] $ son vecinos, si tienen el mismo grado y difieren exactamente en un coeficiente. a) Muestra que todos los vecinos de $ 1+X^2 $ de $ \mathbb{Z}_3[X] $ son reducibles en $ \mathbb{Z}_3[X] . $ b) Si $ |K|\ge 4, $ muestra que cualquier polinomio de grado $ |K|-1 $ de $ K[X] $ tiene un vecino de $ K[X] $ que es reducible en $ K[X] , $ y también tiene un vecino que no tiene ninguna raíz en $ K. $

Sea $ A$ un anillo unitario conmutativo con un número impar de elementos. Demuestra que el número de soluciones de la ecuación $ x^2 = x$ (en $ A$ ) divide el número de elementos invertibles de $ A$