1 Tenemos $2^m$ hojas de papel, con el número $1$ escrito en cada una de ellas. Realizamos la siguiente operación. En cada paso elegimos dos hojas distintas; si los números de las dos hojas son $a$ y $b$ , entonces borramos estos números y escribimos el número $a + b$ en ambas hojas. Demuestre que después de $m2^{m -1}$ pasos, la suma de los números de todas las hojas es al menos $4^m$ . Propuesto por Abbas Mehrabian, Irán

2 Halle todas las ternas $(p, x, y)$ formadas por un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambas potencias de $p$ . Propuesto por Bélgica

3 Defina la función $f:(0,1)\to (0,1)$ mediante \[\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+\frac 12 & \text{if}\ \ x < \frac 12\\ x^2 & \text{if}\ \ x \ge \frac 12 \end{array} \right.\] Sean $a$ y $b$ dos números reales tales que $0 < a < b < 1$ . Definimos las sucesiones $a_n$ y $b_n$ mediante $a_0 = a, b_0 = b$ , y $a_n = f( a_{n -1})$ , $b_n = f (b_{n -1} )$ para $n > 0$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que \[(a_n - a_{n-1})(b_n-b_{n-1})<0.\] Propuesto por Dinamarca

4 Considere una circunferencia fija $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ sobre ella. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$ . Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ de $\Gamma$ , sea $M$ el punto del segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$ . Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$ . Demuestre que, a medida que $P$ varía, el punto $Q$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Jack Edward Smith, Reino Unido

1 Llamemos genial a una función $f : R \to R$ si existen números reales $a$ y $b$ tales que $f(x + a)$ es una función par y $f(x + b)$ es una función impar. (a) Demuestre que toda función genial es periódica. (b) Dé un ejemplo de una función periódica que no sea genial.

3 Construya un tetrominó uniendo dos dominós de $2 \times 1$ a lo largo de sus lados más largos de modo que el punto medio del lado más largo de un dominó sea una esquina del otro dominó. Esta construcción produce dos tipos de tetrominós con orientaciones opuestas. Llamémoslos $S$ - y $Z$ - tetrominós, respectivamente. Suponga que un polígono reticular $P$ puede ser embaldosado con $S$ - tetrominós. Demuestre que, sin importar cómo embaldosemos $P$ usando únicamente $S$ - y $Z$ - tetrominós, siempre usamos un número par de $Z$ - tetrominós. Propuesto por Tamas Fleiner y Peter Pal Pach, Hungría

4 Sean $\Omega$ y $O$ la circunferencia circunscrita y el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > BC$ . La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $\Omega$ en $M \ne B$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $BM$ . Las bisectrices de los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ intersecan a $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q,$ respectivamente. El punto $R$ se elige sobre la recta $P Q$ de modo que $BR = MR$ . Demuestre que $BR\parallel AC$ . (Aquí siempre suponemos que una bisectriz es un rayo.) Propuesto por Sergey Berlov, Rusia

1 Partiendo de un vértice $x_0$ , recorremos las aristas de un grafo conexo $G$ de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Nunca recorremos la misma arista dos veces en la misma dirección. 2. Una vez que llegamos a un vértice $x \ne x_0$ , nunca antes visitado, marcamos la arista por la cual llegamos a $x$ . Solo podemos usar esta arista marcada para salir del vértice $x$ si ya hemos recorrido, en ambas direcciones, todas las demás aristas incidentes a $x$ . Demuestre que, sin importar el camino seguido, siempre quedaremos atrapados en $x_0$ y que todas las demás aristas habrán sido recorridas en ambas direcciones.

2 Sea $n > 1$ un entero dado. Demuestre que infinitos términos de la sucesión $(a_k )_{k\ge 1}$ , definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,\] son impares. (Para un número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . ) Propuesto por Hong Kong

3 Determine todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que satisfacen las siguientes propiedades: i) $P(0) = 1$ ii) para cualesquiera números reales $x$ e $y,$ \[|y^2-P(x)|\le 2|x|\quad\text{if and only if}\quad |x^2-P(y)|\le 2|y|.\]