Si $a, b, c \in [-1, 1]$ satisfacen $a + b + c + abc = 0$ , demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 \ge 3(a + b + c)$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en $A$ . La altitud desde $A$ se encuentra con $BC$ en $H$ y $M$ es el punto medio de la hipotenusa $[BC]$ . En los catetos, en el exterior del triángulo, se construyen triángulos equiláteros $BAP$ y $ACQ$ . Si $N$ es el punto de intersección de las líneas $AM$ y $PQ$ , demostrar que los ángulos $\angle NHP$ y $\angle AHQ$ son iguales.

Demostrar que si $a,b,c, d \in [1,2]$ , entonces $$\n\frac{a + b}{b + c}+\frac{c + d}{d + a}\le 4 \frac{a + c}{b + d}$$\n¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $n$ un entero positivo. Para cada uno de los números $1, 2,.., n$ calculamos la diferencia entre el número de sus divisores positivos impares y sus divisores positivos pares. Demostrar que la suma de estas diferencias es al menos $0$ y como máximo $n$ .

Alina y Bogdan juegan un juego en una cuadrícula rectangular de $2\times n$ ( $n\ge 2$ ) cuyos lados de longitud $2$ se pegan para formar un cilindro. En movimientos alternados, cada jugador recorta un cuadrado unitario de la cuadrícula. Un jugador pierde si su movimiento hace que la cuadrícula pierda la conexión circular (dos cuadrados unitarios que solo se tocan en una esquina se consideran desconectados). Suponga que Alina hace el primer movimiento. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Los lados de un triángulo equilátero se dividen en n partes iguales por $n-1$ puntos en cada lado. A través de estos puntos se dibujan líneas paralelas a los lados del triángulo. Por lo tanto, el triángulo inicial se divide en $n^2$ triángulos equiláteros iguales. En cada vértice de dicho triángulo hay un escarabajo. Los escarabajos comienzan a gatear simultáneamente, con igual velocidad, a lo largo de los lados de los pequeños triángulos. Cuando llegan a un vértice, los escarabajos cambian la dirección de su movimiento en $60^{\circ}$ o en $120^{\circ}$ . a) Demostrar que, si $n \geq 7$ , los escarabajos pueden moverse indefinidamente por los lados de los pequeños triángulos sin que dos escarabajos se encuentren nunca en un vértice de un triángulo pequeño. b) Determinar todos los valores de $n \geq 1$ para los cuales los escarabajos pueden moverse a lo largo de los lados de los pequeños triángulos sin encontrarse en sus vértices.

Sea $I$ el incentro del $\Delta ABC$ escaleno, tal que, $AB<AC$ , y sea $I'$ la reflexión del punto $I$ en la línea $BC$ . La bisectriz del ángulo $AI$ se encuentra con $BC$ en $D$ y con la circunferencia circunscrita del $\Delta ABC$ en $E$ . La línea $EI'$ se encuentra con la circunferencia circunscrita en $F$ . Demostrar que, $\text{(i) } \frac{AI}{IE}=\frac{ID}{DE}$ $\text{(ii) } IA=IF$

Dados $x_1,x_2,...,x_n$ números reales, demostrar que existe un número real $y$ , tal que, $$\{y-x_1\}+\{y-x_2\}+...+\{y-x_n\} \leq \frac{n-1}{2}$$

Sean $n$ y $k$ dos enteros positivos tales que $1\leq n \leq k$ . Demostrar que, si $d^k+k$ es un número primo para cada divisor positivo $d$ de $n$ , entonces $n+k$ es un número primo.

Sean $a, b, c, d$ números reales no negativos que satisfacen $a + b + c + d = 3$ . Demostrar que $$\n\frac{a}{1 + 2b^3} + \frac{b}{1 + 2c^3} +\frac{c}{1 + 2d^3} +\frac{d}{1 + 2a^3} \ge \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{3}$$\n¿Cuándo se cumple la igualdad?