Encuentra todos los reales $x > 0$ y enteros $n > 0$ de modo que $$ \lceil x \rceil+\left\{ \frac{1}{x}\right\}= 1.005 \cdot n.$$

Una torre comienza a moverse en un tablero de ajedrez infinito, alternando movimientos horizontales y verticales. La longitud del primer movimiento es de un cuadrado, del segundo - dos cuadrados, del tercero - tres cuadrados y así sucesivamente. a) ¿Es posible que la torre llegue a su punto de partida después de exactamente $2013$ movimientos? b) Encuentra todos los $n$ para los cuales es posible que la torre regrese a su punto de partida después de exactamente $n$ movimientos.

El prisma recto $ABCA'B'C'$, con $AB = AC = BC = a$, tiene la propiedad de que existe un único punto $M \in (BB')$ tal que $AM \perp MC'$. Encuentra la medida del ángulo de la recta $AM$ y el plano $(ACC')$.

Sea $n$ un entero positivo y $M = \{1, 2, . . . , 2n + 1\}$. Averigua de cuántas formas podemos dividir el conjunto $M$ en tres conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos $A,B,C$ de modo que ambos sean verdaderos: (i) para cada $a \in A$ y $b \in B$, el resto de la división de $a$ por $b$ pertenece a $C$ (ii) para cada $c \in C$ existe $a \in A$ y $b \in B$ tal que $c$ es el resto de la división de $a$ por $b$.

Sea $ABCD$ un rectángulo con $5AD <2 AB$. En el lado $AB$ considera los puntos $S$ y $T$ tales que $AS = ST = TB$. Sean $M, N$ y $P$ las proyecciones de los puntos $A, S$ y $T$ sobre las líneas $DS, DT$ y $DB$ respectivamente. Demuestra que los puntos $M, N$ y $P$ son colineales si y sólo si $15 AD^2 = 2 AB^2$.

Un dado es un cubo unitario con números del $1$ al $6$ escritos en sus caras, de modo que cada número aparece una vez y la suma de los números en dos caras opuestas cualesquiera es $7$. Construimos un cubo grande de $3 \cdot 3 \cdot 3$ usando $27$ dados. Encuentra todos los valores posibles de la suma de los números que se pueden ver en las caras del cubo grande.

En el triángulo $\triangle ABC$, la bisectriz $AD$ ( $D \in BC$ ) y la mediana $BE$ ( $E \in AC$ ) se intersecan en el punto $P$. Las líneas $AB$ y $CP$ se intersecan en el punto $F$. La paralela por $B$ a $CF$ interseca a $DF$ en el punto $M$. Demuestra que $DM = BF$

Considerar un tablero de $m\times n$ donde $m, n \ge 3$ son enteros positivos, dividido en cuadrados unitarios. Inicialmente todos los cuadrados son blancos. ¿Cuál es el número mínimo de cuadrados que deben pintarse de rojo para que cada cuadrado de $3\times 3$ contenga al menos dos cuadrados rojos?

Sea $n \ge 2$ un entero positivo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) para todo entero $x$ coprimo con n la congruencia $x^6 \equiv 1$ (mod $n$ ) se cumple, b) $n$ divide a $504$ .

Sea $A$ un punto fuera del círculo $\omega$ . Las tangentes desde $A$ tocan el círculo en $B$ y $C$ . Sea $P$ un punto arbitrario en la extensión de $AC$ hacia $C$ , $Q$ la proyección de $C$ sobre $PB$ y $E$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita de $ABP$ con el círculo $\omega$ . Demostrar que $\angle PEQ = 2\angle APB$