1 Sea $ABC$ un triángulo, sean ${A}'$ , ${B}'$ , ${C}'$ las proyecciones ortogonales de los vértices $A$ , $B$ , $C$ sobre las rectas $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente, y sea $X$ un punto sobre la recta $A{A}'$ . Sea $\gamma_{B}$ la circunferencia que pasa por $B$ y $X$ , con centro en la recta $BC$ , y sea $\gamma_{C}$ la circunferencia que pasa por $C$ y $X$ , con centro en la recta $BC$ . La circunferencia $\gamma_{B}$ corta a las rectas $AB$ y $B{B}'$ nuevamente en $M$ y ${M}'$ , respectivamente, y la circunferencia $\gamma_{C}$ corta a las rectas $AC$ y $C{C}'$ nuevamente en $N$ y ${N}'$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M$ , ${M}'$ , $N$ y ${N}'$ son colineales.

4: Halle una sucesión de enteros positivos $f(n)$ , $n \in \mathbb{N}$ tal que $(1)$ $f(n) \leq n^8$ para todo $n \geq 2$ , $(2)$ para cualesquiera números naturales $a_1,a_2,\cdots, a_k$ y $n$ distintos por pares, se tiene que $$f(n) \neq f(a_1)+f(a_2)+ \cdots + f(a_k)$$

2015 g6.3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB<CD$ , y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $PCD$ interseca a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R$ . Sean $S$ y $T$ los puntos donde las tangentes trazadas desde $P$ a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ tocan dicha circunferencia. (a) Demuestre que $PQ=PR$ . (b) Demuestre que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

2015 g5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y sean $D, E, F$ los pies de las alturas trazadas desde $A, B, C$ , respectivamente. Sea $ P$ el pie de la perpendicular trazada desde $ B$ sobre $DE$ y $Q$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ sobre $DF$ . Demuestre que $OD$ es perpendicular a $PQ$ .

5. Considere un triángulo $ABC$ con altura $AH$ y $H$ sobre $BC$ . Sean $\gamma_1$ y $\gamma_2$ las circunferencias de diámetros $BH,CH$ respectivamente, y sean $O_1$ y $O_2$ sus centros. Los puntos $X,Y$ están sobre $\gamma_1,\gamma_2$ respectivamente, tales que $AX,AY$ son tangentes a cada circunferencia y $X,Y,H$ son todos distintos. $P$ es un punto tal que $PO_1$ es perpendicular a $BX$ y $PO_2$ es perpendicular a $CY$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $PXY$ y $AO_1O_2$ son tangentes entre sí.

3: Sea $a_1, a_2, . . ., a_n$ una sucesión finita de $0$ y $1$ . Debajo de cualesquiera dos términos consecutivos de esta sucesión se escribe $0$ si los dígitos son iguales y se escribe $1$ en caso contrario. De este modo se obtiene una nueva sucesión de longitud $n -1$ . Repitiendo este procedimiento $n - 1$ veces se obtiene una tabla triangular de $0$ y $1$ . Halle el número máximo posible de unos que pueden aparecer en esta tabla.

9 Encuentra el valor mínimo de \[\frac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}\] para $0 < x < \pi$ .

14 En la figura adjunta, se dibujan dos círculos de radios 6 y 8 con sus centros separados 12 unidades. En \(P\), uno de los puntos de intersección, se traza una recta de modo que las cuerdas \(QP\) y \(PR\) tengan igual longitud. Encuentra el cuadrado de la longitud de \(QP\).

Siete Veinticinco de los caballeros del Rey Arturo están sentados en su acostumbrada mesa redonda. Tres de ellos son elegidos — todas las elecciones de tres son igualmente probables — y son enviados a matar a un molesto dragón. Sea $P$ la probabilidad de que al menos dos de los tres hubieran estado sentados uno junto al otro. Si $P$ se escribe como una fracción en sus términos más bajos, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

$G<S_n$$\{1,...,n\}$$e\neq g\in G$$k\in \{1,...,n\}$$g.k=k$$k\in \{1,...,n\}$$g\in G$$g.k=k$