Dado A, matrices no invertidas de orden n con elementos reales, $n\ge 2$ y dado ${{A}^{*}}$ adjunte la matriz A. Demuestre que $tr({{A}^{*}})\ne -1$ si y sólo si la matriz ${{I}_{n}}+{{A}^{*}}$ es invertible.

a)Prueba que $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{{{2}^{m}}}<m$ , para cualquier $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . b)Sea ${{p}_{1}},{{p}_{2}},...,{{p}_{n}}$ los números primos menores que ${{2}^{100}}$ . Prueba que $\frac{1}{{{p}_{1}}}+\frac{1}{{{p}_{2}}}+...+\frac{1}{{{p}_{n}}}<10$

Encuentra todas las funciones inyectivas $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen: $\left| f\left( x \right)-f\left( y \right) \right|\le \left| x-y \right|$ ,para cualquier $x,y\in \mathbb{Z}$ .

Para ser considerado los siguientes complejos y distintos $a,b,c,d$ . Prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)Para cada $z\in \mathbb{C}$ la desigualdad tiene lugar : $\left| z-a \right|+\left| z-b \right|\ge \left| z-c \right|+\left| z-d \right|$ ; ii)Hay $t\in \left( 0,1 \right)$ de modo que $c=ta+\left( 1-t \right)b$ si $d=\left( 1-t \right)a+tb$

Resuelve la siguiente ecuación ${{2}^{{{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x}}-{{2}^{{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x}}=\cos 2x$

Considere un número entero distinto de cero $n$ y la función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ por\n\[ f(x) = \begin{cases}\n\frac{x}{2} & \text{si } x \text{ es par} \\\n\frac{x-1}{2} + 2^{n-1} & \text{si } x \text{ es impar}\n\end{cases}.\n\] Determine el conjunto:\n\[\nA = \{ x\in \mathbb{N} \mid \underbrace{\left( f\circ f\circ ....\circ f \right)}_{n\ f\text{'s}}\left( x \right)=x \}.\n\]

Dado $P$ un punto m dentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $DEF$ las intersecciones de las líneas con eso $AP$ , $BP$ , $CP$ con $\left[ BC \right],\left[ CA \right],$ respectiva $\left[ AB \right]$ a) Muestre que el área del triángulo $DEF$ es como máximo una cuarta parte del área del triángulo $ABC$ b) Muestre que el radio del círculo inscrito en el triángulo $DEF$ es como máximo una cuarta parte del radio del círculo circunscrito en el triángulo $4ABC.$

Dado $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función arbitraria y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función de segundo grado, con la propiedad: para cualquier número real m y n la ecuación $f\left( x \right)=mx+n$ tiene soluciones si y sólo si la ecuación $g\left( x \right)=mx+n$ tiene soluciones Muestre que las funciones $f$ y $g$ son iguales.

Una serie de números se llama completa si tiene términos naturales distintos de cero y cualquier entero distinto de cero tiene al menos uno entre series múltiples. Demuestre que la progresión aritmética es una secuencia completa si y sólo si divide la relación del primer término.

Un conjunto $M$ de números reales se llamará especial si tiene las propiedades: (i) para cada $x, y \in M, x\ne y$, los números $x + y$ y $xy$ no son cero y exactamente uno de ellos es racional; (ii) para cada $x \in M, x^2$ es irracional. Encuentra el número máximo de elementos de un conjunto especial.