9.7 En un triángulo $ABC$ el ángulo $\angle BAC = 60^{\circ}$ . El punto $M$ es el punto medio de $BC$ , y $D$ es el pie de la altura desde el punto $A$ . Se marcan los puntos $T$ y $P$ tales que $TBC$ es equilátero, y $\angle BPD=\angle DPC = 30^{\circ}$ , y estos puntos se encuentran en el mismo semiplano con respecto a $BC$ , no en el mismo que $A$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $ADP$ y $AMT$ son tangentes. I. Korshunau

9.8 En cierta galaxia hay $1000000$ planetas y en cada uno de ellos hay al menos $101$ portales. Cada portal permite teletransportarse entre dos planetas, y no hay dos planetas conectados por más de un portal. Se sabe que partiendo de cualquier planeta se puede llegar a cualquier otro usando portales, mientras que es imposible regresar a ese planeta usando a lo sumo 5 portales distintos. Demuestre que partiendo de cualquier planeta se puede llegar a cualquier otro en el transcurso de un año, usando a lo sumo un portal por día (un año consta de 365 días). M. Zorka

10.1 Un guardarropa de un cine funciona con algunas pausas. El tiempo total que el guardarropa trabajó hoy es de 8 horas. El horario del guardarropa es tal que es posible exhibir cualquier película de duración a lo sumo 12 horas de modo que el guardarropa esté abierto al menos una hora antes y después de la película (las películas se exhiben sin pausas). Determine la cantidad mínima posible de pausas en el horario del guardarropa. A. Voidelevich

10.2 Sea $n$ un entero positivo y sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $P(1)=1,P(2)=2,\ldots,P(n)=n$ . Demuestre que $P(0)$ es divisible por $2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ . A. Voidelevich

10.3 Dados dos ángulos $ACT$ y $TCB$ , donde $A$ , $C$ y $B$ están sobre una recta en ese orden. Una circunferencia $\alpha$ está inscrita en el primer ángulo, y $\beta$ en el segundo. $\alpha$ es tangente a $AB$ y $CT$ en los puntos $A$ y $E$ , y $\beta$ es tangente a $AE$ y $BF$ en $B$ y $F \neq E$ . Las rectas $AE$ y $BF$ se intersecan en $P$ . La circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $PEF$ interseca a $\alpha$ y $\beta$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demuestre que $AX$ y $BY$ se intersecan sobre $\omega$ . M. Zorka

10.4 ¿Es posible asignar a cada punto entero $(x,y)$ del plano un entero positivo $a_{x,y}$ tal que para cualesquiera dos enteros $i$ y $j$ se cumpla la siguiente igualdad $$a_{i,j}=\gcd(a_{i-1,j},a_{i+1,j})+\gcd(a_{i,j-1},a_{i,j+1})$$ M. Shutro

10.5 Las longitudes de los lados $AB,BC,CD,AD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ son iguales a $16,13,14,17$ respectivamente. Se trazan las circunferencias $w_1,w_2,w_3,w_4$ con centros $A,B,C,D$ y radios $2,6,3,9$ respectivamente. Las tangentes externas comunes a las circunferencias $w_1,w_2$ ; $w_2,w_3$ ; $w_3,w_4$ ; $w_4,w_1$ se intersecan en $A_1,B_1,C_1,D_1$ respectivamente. Demuestre que las rectas $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ son concurrentes. A. Vaidzelevich

10.6 Con una sucesión de ceros y unos, Vasya realiza movimientos de la siguiente forma hasta que el proceso se detiene: 1. Si el primer dígito de la sucesión es cero, ese dígito se borra. 2. Si el primer dígito es uno y hay al menos dos dígitos, Vasya intercambia los dos primeros dígitos, invierte la sucesión y reemplaza los unos por ceros y los ceros por unos. 3. Si la sucesión está vacía o consta de un solo uno, el proceso se detiene. Determine el número de sucesiones de longitud 2025 a partir de las cuales Vasya puede llegar a la sucesión vacía. M. Zorka

10.7 Para todo entero positivo $n$ escriba todos sus divisores en orden creciente: $1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n$ . Determine todos los $n$ tales que $2025 \cdot n=d_{20} \cdot d_{25}$ . I. Voronovich

10.8 Dado un conjunto $S$ formado por $n \geq 3$ enteros positivos. Se sabe que si para algunos números $a,b,c,d$ de $S$ (no necesariamente distintos) se cumple la igualdad $a-b=2(c-d)$ , entonces $a=b$ y $c=d$ . Sea $M$ el mayor elemento de $S$ . a) Demuestre que $M > \frac{n^2}{3}$ . b) Para $n=1024$ determine el menor valor posible de $M$ . M. Zorka, Y. Sheshukou