Sea un número real $ a. $ Para cualquier número real $ p $ y número natural $ k, $ sea el conjunto $$ A_k(p)=\{ px\in\mathbb{Z}\mid k=\lceil x \rceil \} . $$ Encuentra todos los números reales $ b $ tales que $ \# A_n(a)=\# A_n(b) , $ para cualquier número natural $ n. $ $ \# $ denota el cardinal.

Encuentra todos los números naturales $ n $ para los cuales existen dos números naturales $ a,b $ tales que $$ n=S(a)=S(b)=S(a+b) , $$ donde $ S(k) $ denota la suma de los dígitos de $ k $ en base $ 10, $ para cualquier número natural $ k. $

Para cada $ k\in\mathbb{N} ,k\le 2000, $ Sea $ r_k $ el resto de la división de $ k $ por $ 4, $ y $ r'_k $ el resto de la división de $ k $ por $ 3. $ Demuestra que existe un único $ m\in\mathbb{N} ,m\le 1999 $ tal que $$ r_1+r_2+\cdots +r_m=r'_{m+1} +r'_{m+2} +\cdots r'_{2000} . $$

Dado $n\ge 2$ un número natural, $(K,+,\cdot )$ un cuerpo con propiedad conmutativa que $\underbrace{1+...+}_{m}1\ne 0,m=2,...,n,f\in K[X]$ un polinomio de grado $n$ y $G$ un subgrupo del grupo aditivo $(K,+,\cdot )$ , $G\ne K.$ Muestre que hay $a\in K$ s o $f(a)\notin G$ .

Dado $a\in (0,1)$ y $C$ el conjunto de funciones crecientes $f:[0,1]\to [0,\infty )$ tales que $\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx=1$ . Determine: $(a)\underset{f\in C}{\mathop{\max }}\,\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}$ $(b)\underset{f\in C}{\mathop{\max }}\,\int\limits_{0}^{a}{{{f}^{2}}(x)dx}$

Dado un anillo $\left( A,+,\cdot \right)$ que cumple ambas de las siguientes condiciones: (1) $A$ no es un campo, y (2) Para cada elemento no invertible $x$ de $ A$ , hay un entero $m>1$ (dependiendo de $x$ ) tal que $x=x^2+x^3+\ldots+x^{{2}^{m}}$ . Muestre que (a) $x+x=0$ para cada $x \in A$ , y (b) $x^2=x$ para cada $x\in A$ no invertible .

Determine las funciones continuas $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que $\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx=3\int\limits_{a}^{b}{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx,}}$ para cada $a,b\in \mathbb{R}$ .

a) Considere \[f\text{:}\left[ \text{0,}\infty \right)\to \left[ \text{0,}\infty \right)\] una función diferenciable y convexa .Muestre que $f\left( x \right)\le x$ , para cada $x\ge 0$ , que ${f}'\left( x \right)\le 1$ ,para cada $x\ge 0$ b) Determine \[f\text{:}\left[ \text{0,}\infty \right)\to \left[ \text{0,}\infty \right)\] funciones diferenciables y convexas que tienen la propiedad de que $f\left( 0 \right)=0\,$ , y ${f}'\left( x \right)f\left( f\left( x \right) \right)=x$ , para cada $x\ge 0$

Una función \[\text{f:(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] se llama contrato si, para cada número $x,y\in \text{(0,}\infty \text{)}$ tenemos, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{f}^{n}}\left( x \right)-{{f}^{n}}\left( y \right) \right)=0$ donde ${{f}^{n}}=\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}_{n\ f\text{'s}}$ a) Considere \[f:\text{(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] una función contraída, continúe con la propiedad de que tiene un punto fijo, que existe ${{x}_{0}}\in \text{(0,}\infty \text{) }$ allí para que $f\left( {{x}_{0}} \right)={{x}_{0}}.$ Muestre que $f\left( x \right)>x,$ para cada $x\in \text{(0,}{{x}_{0}}\text{)}\,$ y $f\left( x \right)<x$ , para cada $x\in \text{(}{{x}_{0}}\text{,}\infty \text{)}\,$ . b) Muestre que la función dada \[f\text{:(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] dada por $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}$ está contraída pero no tiene un número fijo.

Sean $m$ y $n$ números naturales, $m,n\ge 2$ . Considere matrices, ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{m}}\in {{M}_{n}}(R)$ no todas nilpotentes. Demuestre que existe un número entero $k>0$ tal que ${{A}^{k}}_{1}+{{A}^{k}}_{2}+.....+{{A}^{k}}_{m}\ne {{O}_{n}}$