La fórmula de Euler establece que para un poliedro convexo con $V$ vértices, $E$ aristas y $F$ caras, se cumple $V - E + F = 2$. Un poliedro convexo particular tiene 32 caras, cada una de las cuales es un triángulo o un pentágono. En cada uno de sus $V$ vértices se encuentran $T$ caras triangulares y $P$ caras pentagonales. ¿Cuál es el valor de $100P + 10T + V$?

2 Un entero positivo se llama ascendente si, en su representación decimal, tiene al menos dos dígitos y cada dígito es menor que cualquier dígito a su derecha. ¿Cuántos enteros positivos ascendentes hay?

4 En el Triángulo de Pascal, cada entrada es la suma de las dos entradas que están encima de ella. Las primeras filas del triángulo se muestran a continuación. \[\begin{array}{c@{\hspace{8em}} c@{\hspace{6pt}}c@{\hspace{6pt}}c@{\hspace{6pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}} c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{6pt}} c@{\hspace{6pt}}c@{\hspace{6pt}}c} \vspace{4pt} \text{Fila 0: } & & & & & & & 1 & & & & & & \\\vspace{4pt} \text{Fila 1: } & & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\\vspace{4pt} \text{Fila 2: } & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\\vspace{4pt} \text{Fila 3: } & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\\vspace{4pt} \text{Fila 4: } & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\\vspace{4pt} \text{Fila 5: } & & 1 & & 5 & &10& &10 & & 5 & & 1 & \\\vspace{4pt} \text{Fila 6: } & 1 & & 6 & &15& &20& &15 & & 6 & & 1 \end{array}\] ¿En qué fila del Triángulo de Pascal ocurren tres entradas consecutivas que están en la razón $3: 4: 5$?

5 Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales $r$ , $0<r<1$ , que tienen una expansión decimal periódica de la forma \[0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc},\] donde los dígitos $a$ , $b$ y $c$ no son necesariamente distintos. Para escribir los elementos de $S$ como fracciones en su forma más simple, ¿cuántos numeradores diferentes se necesitan?

6 ¿Para cuántos pares de enteros consecutivos en $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ no se requiere llevar al sumar los dos enteros?

Las caras $ABC$ y $BCD$ del tetraedro $ABCD$ se encuentran formando un ángulo de $30^\circ$. El área de la cara $ABC$ es $120$, el área de la cara $BCD$ es $80$, y $BC=10$. Encuentra el volumen del tetraedro.

Para cualquier sucesión de números reales $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots)$, define $\Delta A$ como la sucesión $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots)$, cuyo $n$-ésimo término es $a_{n+1}-a_n$. Supón que todos los términos de la sucesión $\Delta(\Delta A)$ son $1$, y que $a_{19}=a_{92}=0$. Encuentra $a_1$.

3 Una tenista calcula su proporción de victorias dividiendo el número de partidos que ha ganado entre el número total de partidos que ha jugado. Al inicio de un fin de semana, su proporción de victorias es exactamente $.500$. Durante el fin de semana, juega cuatro partidos, ganando tres y perdiendo uno. Al final del fin de semana, su proporción de victorias es mayor que $.503$. ¿Cuál es el mayor número de partidos que pudo haber ganado antes de que comenzara el fin de semana?

Considera la región \(A\) en el plano complejo que consiste en todos los puntos \(z\) tales que tanto \(\frac{z}{40}\) como \(\frac{40}{\overline{z}}\) tienen partes real e imaginaria entre \(0\) y \(1\), inclusive. ¿Cuál es el entero más cercano al área de \(A\)?

9 El trapecio $ABCD$ tiene lados $AB=92$, $BC=50$, $CD=19$ y $AD=70$, con $AB$ paralelo a $CD$. Un círculo con centro $P$ sobre $AB$ se traza tangente a $BC$ y $AD$. Dado que $AP=\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos relativamente primos, encuentra $m+n$.