Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide a $3^n - 2^n$ .

El plano está cubierto con una red de hexágonos regulares congruentes y disjuntos. Demuestre que no puede existir un cuadrado que tenga sus cuatro vértices en los vértices de los hexágonos.

Sea $A$ el conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ , $n\geq 2$ . Encuentre el menor número $n$ para el cual existen permutaciones $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ del conjunto $A$ con la propiedad:\n\[ \sum_{i=1}^n \alpha(i) \beta (i) = \dfrac {19}{10} \sum^n_{i=1} \gamma(i)\delta(i) . \]

Sea $ P(X) = a_{n}X^{n} + a_{n - 1}X^{n - 1} + \ldots + a_{1}X + a_{0}$ un polinomio real de grado $ n$ . Suponga que $ n$ es un número par y:\na) $ a_{0} > 0$ , $ a_{n} > 0$ ;\nb) $ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \ldots + a_{n - 1}^{2}\leq\frac {4\min(a_{0}^{2} , a_{n}^{2})}{n - 1}$ .\nDemuestre que $ P(x)\geq 0$ para todos los valores reales $ x$ .

Sea $A$ el conjunto $A = \{ 1,2, \ldots, n\}$ . Determina el número máximo de elementos de un subconjunto $B\subset A$ tal que para todos los elementos $x,y$ de $B$ , $x+y$ no puede ser divisible por $x-y$ .

Encuentra todos los enteros positivos $A$ que pueden ser representados en la forma:\n\[ A = \left ( m - \dfrac 1n \right) \left( n - \dfrac 1p \right) \left( p - \dfrac 1m \right) \]\ndonde $m\geq n\geq p \geq 1$ son números enteros.

Sean $a,b,c$ números reales distintos tales que $a+b+c>0$. Sea $M$ el conjunto de matrices de $3\times 3$ con la propiedad de que cada fila y cada columna contienen todos los números dados $a,b,c$. Encuentre $\{\max \{ \det A \mid A \in M \}$ y el número de matrices que realizan el valor máximo.

Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestra que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(S) = \frac{\pi}{2}.$

Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tales que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \n\] \ndenotamos por $ O_i$ el circuncentro de $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Asumiendo $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestra que las cuatro líneas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas.

Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestra que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$