9.2 ¿Existe una sucesión infinita $a_1, a_2, a_3, \dots$ de números naturales tal que todos sus elementos son distintos por pares y para todo número natural $n$ se cumple la igualdad \[ \frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_{n+1}} + \dots + \frac{1}{a_{2n+1}} \]?

9.3 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de números naturales distintos por pares para las cuales los números $ab + 3, bc + 3, ca + 3$ pueden ordenarse en una sola fila de izquierda a derecha de modo que el primer número sea divisible por el segundo, y el segundo sea divisible por el tercero.

9.4 En cada celda de la figura que se muestra en la imagen se debe escribir $0$ o $1$ . a) Halle el número de maneras de hacerlo de modo que la suma de los números en cada columna vertical sea impar, y en cada fila horizontal sea par. b) Halle el número de maneras de hacerlo de modo que la suma de los números en cada columna vertical sea par, y en cada fila horizontal sea impar. [asy] size(100); int rows = 6; // Draw the pyramid of unit squares for (int r = 0; r < rows; ++r) { int cnt = 2*r + 1; // number of squares in row real y = rows - 1 - r; // vertical position real x0 = -r; // leftmost x-coordinate for (int i = 0; i < cnt; ++i) { draw((x0 + i, y)--(x0 + i + 1, y)); draw((x0 + i, y + 1)--(x0 + i + 1, y + 1)); draw((x0 + i, y)--(x0 + i, y + 1)); draw((x0 + i + 1, y)--(x0 + i + 1, y + 1)); } } [/asy]

9.5 Un conjunto formado por 27 pesas: tres de masa $1$ g, tres de masa $2$ g, $\dots$ , tres de masa $9$ g, fue dividido en $9$ grupos de tres pesas cada uno. Resultó que las masas totales de las pesas en cada grupo son distintas por pares. Halle todos los valores posibles de la masa total del grupo del medio (el quinto en orden creciente).

3 Encuentra todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que $2^m=8n^6+n^2-1$.

9.6 Halle todos los pares de números naturales $(n,k)$ para los cuales es posible trazar en un círculo $n$ cuerdas azules y $k$ cuerdas blancas de modo que todas las cuerdas azules intersequen cantidades diferentes de cuerdas blancas, y todas las cuerdas blancas intersequen cantidades diferentes de cuerdas azules.

9.7 Los triángulos $ABC$ y $DEF$ están inscritos en una circunferencia $\Omega$ y circunscritos a una circunferencia $\omega$ de modo que la recta $AD$ pasa por el centro de $\omega$ . Demuestre que la recta que pasa por los puntos de tangencia de la circunferencia $\omega$ con los lados $BC$ y $EF$ es paralela a la recta $AD$ .

9.8 Un conjunto no vacío $S$ de números naturales se llama especial si para cualquier elemento $a$ el conjunto $S$ contiene números distintos $b$ y $c$ , diferentes de $a$ , tales que $a = 2023 \cdot \gcd(b,c) + 1$ . ¿Existe un conjunto especial cuyo número de elementos sea a) finito; b) infinito?

10.1 Para un número natural arbitrario $n$ , sea $d(n)$ el número de todos los divisores naturales de $n$ , incluidos $1$ y el propio $n$ , y sea $s(n) = d(1) + d(2) + \dots + d(n)$ . Halle la cantidad de números impares entre \[ s(1), s(2), \dots, s(100). \]

10.2 Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación \[ x\sqrt{y^2 + 1} + y\sqrt{x^2 + 1} = \frac{3}{4}. \] Halle todos los valores posibles de la expresión \[ \sqrt{x^2 + 1}\cdot\sqrt{y^2 + 1} + xy. \]