6 Demuestre que el número $1$ tiene infinitas representaciones de la forma $$1 =\frac{1}{5}+\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ ...+\frac{1}{a_n}$$ , donde $ n$ y $a_i $ son enteros positivos con $5 < a_1 < a_2 < ... < a_n$ .

1 Determine todos los números de cuatro cifras $\overline{abcd}$ que son cuadrados perfectos y para los cuales se cumple la igualdad: $\overline{ab}=3 \cdot \overline{cd} + 1$ .

4 ¿Cuál es el número mínimo de planos determinados por $6$ puntos en el espacio que no son todos coplanares y entre los cuales no hay tres colineales?

2 Halle todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que $m^6 = n^{n+1} + n -1$ .

3 Los números del $1$ al $16$ deben escribirse en las celdas de un tablero de $4\times 4$ . (a) Demuestre que esto puede hacerse de modo que cualesquiera dos números en celdas que comparten un lado difieran a lo sumo en $4$ . (b) Demuestre que esto no puede hacerse de modo que cualesquiera dos números en celdas que comparten un lado difieran a lo sumo en $3$ .

3 Cada lado y cada diagonal de un octágono regular se colorea de rojo o negro. Demuestre que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octágono y cuyos tres lados son del mismo color.

1 Sean $ I,O $ el incentro y, respectivamente, el circuncentro de un triángulo $ ABC. $ La $ A\text{-excircle} $ toca las rectas $ AB,AC,BC $ en $ K,L, $ , respectivamente, $ M. $ El punto medio de $ KL $ está sobre el circuncírculo de $ ABC. $ Demuestre que los puntos $ I,M,O $ son colineales. Павел Кожевников

2 Desde el mismo punto se trazan los rayos $l$ y $m$ que forman un ángulo de $a$ . Sea $P$ un punto fijo sobre $l$ . Para cada circunferencia $C$ tangente a $l$ en $P$ y que interseca a $m$ en $Q$ y $R$ , sea $T$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $QPR$ con $C$ . Describa el lugar geométrico de $T$ y justifique su respuesta.

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $a^2 -3 \cdot 2^b = 1$ .

4 El rectángulo $ABCD$ tiene lados $AB = 3$ , $BC = 2$ . El punto $ P$ sobre el lado $AB$ es tal que la bisectriz del ángulo $CDP$ pasa por el punto medio $M$ de $BC$ . Halle $BP$ .