5 Considera las gráficas de todas las funciones $y = x^2 + px + q$ que tienen 3 puntos de intersección distintos con los ejes de coordenadas. Para cada una de estas gráficas, tomamos esos 3 puntos de intersección y trazamos una circunferencia circunscrita que pase por ellos. Demuestra que todas estas circunferencias tienen un punto en común.

4 Se definen dos funciones mediante las ecuaciones: $f(a) = a^2 + 3a + 2$ y $g(b, c) = b^2 - b + 3c^2 + 3c$ . Demuestra que para cualquier entero positivo $a$ existen enteros positivos $b$ y $c$ tales que $f(a) = g(b, c)$ .

3 Demuestra que entre cualesquiera 18 números positivos consecutivos de 3 dígitos, hay al menos uno que es divisible por la suma de sus dígitos.

2 Triángulo $ABC$ tiene incírculo $\omega$ e incentro $I$. Sobre sus lados $AB$ y $BC$ escogemos puntos $P$ y $Q$ respectivamente, de modo que $PI = QI$ y $PB > QB$. El segmento $QI$ interseca a $\omega$ en $T$. Traza una recta tangente a $\omega$ que pase por $T$; esta interseca los lados $AB$ y $BC$ en $U$ y $V$ respectivamente. Demuestra que $PU = UV + VQ$.

1 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros con $n \ge m$ que satisfacen la ecuación \[n^3+m^3-nm(n+m)=2023.\]

5 Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sea $X$ un punto en el interior del triángulo. Los segundos puntos de intersección de las rectas $XA,XB$ y $XC$ con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ son $P,Q$ y $R$ . Sea $U$ un punto del rayo $XP$ (es decir, los puntos de la recta $XP$ tales que $P$ y $U$ están del mismo lado de $X$ ) . La recta que pasa por $U$ paralela a $AB$ interseca a $BQ$ en $V$ . La recta que pasa por $U$ paralela a $AC$ interseca a $CR$ en $W$ . Demuestre que $Q, R, V$ y $W$ están sobre una circunferencia.

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo. $D$ es un punto del lado $BC$ tal que $AD$ biseca el ángulo $\angle BAC$ . Una recta $l$ es tangente a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADB$ y $ADC$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Sean $M$ , $N$ y $P$ los puntos medios de $BD$ , $DC$ y $KL$ , respectivamente. Demuestre que $l$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\Delta MNP$ .

1 Un mercado de flores recibió $2021$ rosas: blancas, moradas y rojas (al menos $100$ de cada color). Con ellas se hicieron $333$ ramos, cada uno compuesto ya sea de $5$ rosas blancas, o de $7$ rosas moradas, o de $9$ rosas rojas. ¿Cuál es el mayor número posible de rosas blancas que pudieron haber sido entregadas al mercado?

4 Sea $ABC$ un triángulo con $m (\angle C) = 90^\circ$ y los puntos $D \in [AC], E\in [BC]$. Dentro del triángulo construimos los semicírculos $C_1, C_2, C_3, C_4$ de diámetros $[AC], [BC], [CD], [CE]$ y sean $\{C, K\} = C_1 \cap C_2, \{C, M\} = C_3 \cap C_4, \{C, L\} = C_2 \cap C_3, \{C, N\} = C_1 \cap C_4$. Demuestra que los puntos $K, L, M, N$ son concíclicos.

. El producto de $2021$ enteros positivos es $110$ , y su suma es $2046$ . ¿Cuál es el mayor de estos números? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10$ & (B) $55$ & (C) $110$ & (D) $22$ & (E) $2008$ \end{tabular} P2. Incluso cuando un camello tiene sed, el $84\%$ de su peso es agua. Después de beber, su peso se convierte en $800kg$ , y el agua constituye el $85\%$ de su peso. ¿Cuánto pesa el camello cuando tiene sed? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $760kg$ & (B) $780kg$ & (C) $715kg$ & (D) $720kg$ & (E) $750kg$ \end{tabular} P3. ¿Qué cifra debe reemplazar a $*$ para que el número $567*80$ sea divisible por $36$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $5$ & (C) $3$ & (D) $2$ & (E) $1$ \end{tabular} P4. Mamá compró una caja de cubos de azúcar. Los niños se comieron la capa superior formada por $77$ cubos. Luego se comieron una capa lateral formada por $44$ cubos. Finalmente, terminaron con la capa frontal. ¿Cuántos cubos quedaron en la caja? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $240$ & (B) $288$ & (C) $295$ & (D) $300$ & (E) $350$ \end{tabular} P5. Una caja contiene $15$ bolas: rojas, blancas y negras. El número de bolas blancas es $7$ veces el número de bolas rojas. ¿Cuántas bolas negras hay? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $5$ & (C) $6$ & (D) $1$ & (E) $7$ \end{tabular} P6. Un balón de fútbol puede verse como un poliedro con $32$ caras: $20$ hexágonos regulares blancos y $12$ pentágonos regulares negros. ¿Cuántos vértices tiene este poliedro? [asy] import graph3; size(6cm); real angle=360*asin(sin(radians(54))/sin(radians(60)))/pi, h; path3[] hex; hex[0]=(1,0,0)--(cos(radians(60)),sin(radians(60)),0)--(cos(radians(120)),sin(radians(120)),0)--(-1,0,0)--(cos(radians(-120)),sin(radians(-120)),0)--(cos(radians(-60)),sin(radians(-60)),0)--cycle; hex[1]=rotate(angle,point(hex[0],0),point(hex[0],1))*hex[0]; hex[2]=rotate(angle,point(hex[0],2),point(hex[0],3))*hex[0]; hex[3]=rotate(angle,point(hex[0],4),point(hex[0],5))*hex[0]; hex[4]=rotate(360-angle,point(hex[1],2),point(hex[1],3))*hex[1]; hex[5]=rotate(360-angle,point(hex[1],4),point(hex[1],5))*hex[1]; hex[6]=rotate(360-angle,point(hex[2],0),point(hex[2],1))*hex[2]; hex[7]=rotate(360-angle,point(hex[2],4),point(hex[2],5))*hex[2]; hex[8]=rotate(360-angle,point(hex[3],0),point(hex[3],1))*hex[3]; hex[9]=rotate(360-angle,point(hex[3],2),point(hex[3],3))*hex[3]; path3 p=rotate(angle,point(hex[0],4),point(hex[0],5))*hex[0]; p=rotate(360-angle,point(p,2),point(p,3))*p; p=rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*p; p=rotate(360-angle,point(p,4),point(p,5))*p; p=rotate(angle,point(p,2),point(p,3))*p; h=point(p,0).z; for(int i=0; i<10; ++i){ hex[19-i]=shift(0,0,h)*scale(1,1,-1)*rotate(60,Z)*hex[i];} draw(hex[1]); draw(hex[4]); draw(hex[5]); draw(hex[6]); draw(hex[11]); draw(hex[14]); draw(hex[16]); draw(hex[18]); draw(point(hex[19],0)--point(hex[19],5)); draw(point(hex[11],1)--point(hex[11],2)--point(hex[5],1)); draw(point(hex[8],4)--point(hex[8],3)--point(hex[16],2)); draw(point(hex[15],3)--point(hex[15],4)); draw(point(hex[2],1)--point(hex[2],2)--point(hex[1],1)); draw(surface(point(hex[1],1)--point(hex[1],2)--point(hex[4],1)--point(hex[2],1)--point(hex[2],2)--cycle), black); draw(surface(point(hex[4],3)--point(hex[4],4)--point(hex[14],1)--point(hex[5],3)--point(hex[5],4)--cycle), black); draw(surface(point(hex[8],4)--point(hex[8],3)--point(hex[16],2)--point(hex[11],1)--point(hex[11],2)--cycle), black); draw(surface(point(hex[18],0)--point(hex[18],5)--point(hex[11],5)--point(hex[16],0)--point(hex[16],5)--cycle), black); draw(surface(point(hex[15],3)--point(hex[15],4)--point(hex[4],0)--point(hex[14],3)--point(hex[14],4)--cycle), black); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $72$ & (B) $90$ & (C) $60$ & (D) $56$ & (E) $52$ \end{tabular} P7. Hay $70$ niños en un campamento de verano. De ellos, $27$ asisten al club de teatro, $32$ cantan en el coro y $22$ practican deportes. En el club de teatro hay $10$ niños del coro; en el coro hay $6$ deportistas; en el club de teatro hay $8$ deportistas; y $3$ deportistas asisten tanto al club de teatro como al coro. ¿Cuántos niños ni cantan en el coro, ni practican deportes, ni asisten al club de teatro? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $15$ & (C) $10$ & (D) $22$ & (E) $19$ \end{tabular} P8. Dos lados de un cuadrilátero miden $2$ y $9$ . Una de sus diagonales, de longitud $4$ , lo divide en dos triángulos isósceles. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $17$ & (B) $24$ & (C) $19$ & (D) $22$ & (E) $16$ \end{tabular} P9. El reloj de Kairat adelanta $10$ minutos, pero él cree que atrasa $15$ minutos. El reloj de Maksat atrasa $15$ minutos, pero él cree que adelanta $10$ minutos. Al mirar su reloj, Kairat concluyó que ahora es mediodía. Según Maksat, ¿qué hora es ahora? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12{:}00$ & (B) $11{:}10$ & (C) $12{:}35$ & (D) $12{:}50$ & (E) $11{:}25$ \end{tabular} P10. Un estudiante leyó la primera mitad de un libro a un ritmo promedio de $20$ páginas por día, y la segunda mitad a $30$ páginas por día. Después de terminar todo el libro, ¿cuál fue el número promedio de páginas leídas por día por el estudiante? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $25$ & (B) $28$ & (C) $26$ & (D) $24$ & (E) $23$ \end{tabular} P11. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $\left|5+\frac{x}{2}\right|+|3+2x|+2x=0$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $1$ & (C) $0$ & (D) $4$ & (E) $2$ \end{tabular} P12. Dieciséis puntos están dispuestos en el plano como se muestra en la figura. ¿Cuántos triángulos pueden formarse con vértices en estos puntos? [asy] size(6cm); for(int i=0; i<4; ++i){ draw((0,i)--(3,i), orange+dashed); draw((i,0)--(i,3), orange+dashed);} for(int i=0; i<4; ++i){ for(int j=0; j<4; ++j){ filldraw(circle((i,j), 1/16), orange);}} [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $326$ & (B) $516$ & (C) $44$ & (D) $560$ & (E) $246$ \end{tabular}