a) Sean $ D_1,D_2,D_3 $ líneas oblicuas por pares. A través de cada punto $ P_2\in D_2 $ hay una secante común única de estas tres líneas que interseca a $ D_1 $ en $ P_1 $ y a $ D_3 $ en $ P_3. $ Sean los sistemas de coordenadas introducidos en $ D_2 $ y $ D_3 $ teniendo como origen $ O_2, $ respectivamente, $ O_3. $ Encuentre una relación entre las coordenadas de $ P_2 $ y $ P_3. $ b) Demuestre que existen cuatro líneas oblicuas por pares con exactamente dos secantes comunes. También encuentre ejemplos con exactamente una y sin secantes comunes. c) Sean $ F_1,F_2,F_3,F_4 $ cuatro secantes cualesquiera de $ D_1,D_2, D_3. $ Demuestre que $ F_1,F_2, F_3, F_4 $ tienen infinitas secantes comunes.

Los puntos $ A’,B,C’ $ se toman arbitrariamente en los bordes $ SA,SB, $ respectivamente, $ SC $ de un tetraedro $ SABC. $ El plano formado por $ ABC $ interseca el plano $ \rho , $ formado por $ A’B’C’, $ en una línea $ d. $ Demuestre que, mientras el plano $ \rho $ gira alrededor de $ d, $ las líneas $ AA’,BB’ $ y $ CC’ $ son, y siguen siendo concurrentes. Encuentre el lugar geométrico de las respectivas intersecciones.

En un cuadrilátero convexo $ ABCD, $ sean $ A’,B’ $ las proyecciones ortogonales a $ CD $ de $ A, $ respectivamente, $ B. $ a) Asumiendo que $ BB’\le AA’ $ y que el perímetro de $ ABCD $ es $ (AB+CD)\cdot BB’, $ ¿es $ ABCD $ necesariamente un trapecio? b) La misma pregunta con la adición de que $ \angle BAD $ es obtuso.

Sea $ \mathcal{M} $ un conjunto de $ 3n\ge 3 $ puntos planos tales que la distancia máxima entre dos de estos puntos es $ 1 $ . Demuestre que: a) entre cuatro puntos cualesquiera, hay dos separados por una distancia a lo sumo $ \frac{1}{\sqrt{2}} . $ b) para $ n=2 $ y cualquier $ \epsilon >0, $ es posible que $ 12 $ o $ 15 $ de las distancias entre puntos de $ \mathcal{M} $ se encuentren en el intervalo $ (1-\epsilon , 1]; $ pero cualquier $ 13 $ de las distancias no se pueden encontrar todas en el intervalo $ \left(\frac{1}{\sqrt 2} ,1\right]. $ c) existe un círculo de diámetro $ \sqrt{6} $ que contiene a $ \mathcal{M} . $ d) algunos dos puntos de $ \mathcal{M} $ están a una distancia que no excede de $ \frac{4}{3\sqrt n-\sqrt 3} . $

Sean $ A_1,A_2,...,A_{3n} $ $ 3n\ge 3 $ puntos planos tales que $ A_1A_2A_3 $ es un triángulo equilátero y $ A_{3k+1} ,A_{3k+2} ,A_{3k+3} $ son los puntos medios de los lados de $ A_{3k-2}A_{3k-1}A_{3k} , $ para todo $ 1\le k<n. $ De dos colores diferentes, cada uno de estos puntos se colorea, ya sea con uno, ya sea con otro. a) Demuestre que, si $ n\ge 7, $ entonces algunos de estos puntos forman un trapecio isósceles monocromático (solo un color). b) ¿Qué pasa con $ n=6? $

Demuestre que existe una función $ F:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ que satisface $ (F\circ F) (n) =n^2, $ para todo $ n\in\mathbb{N} . $

Asocie a cualquier punto $ (h,k) $ en la red entera del plano cartesiano un número real $ a_{h,k} $ de modo que $$ a_{h,k}=\frac{1}{4}\left( a_{h-1,k} +a_{h+1,k}+a_{h,k-1}+a_{h,k+1}\right) ,\quad\forall h,k\in\mathbb{Z} . $$ a) Demuestre que es posible que todos los elementos del conjunto $ A:=\left\{ a_{h,k}\big| h,k\in\mathbb{Z}\right\} $ sean diferentes. b) Si es así, demuestre que el conjunto $ A $ no tiene ningún tipo de frontera.

Una secuencia $ \left( x_n\right)_{n\ge 0} $ de números reales satisface $ x_0>1=x_{n+1}\left( x_n-\left\lfloor x_n\right\rfloor\right) , $ para cada $ n\ge 1. $ Demuestre que si $ \left( x_n\right)_{n\ge 0} $ es periódica, entonces $ x_0 $ es una raíz de una ecuación cuadrática. Estudie la conversa.

Para cualquier conjunto $ A $ decimos que dos funciones $ f,g:A\longrightarrow A $ son similares, si existe una biyección $ h:A\longrightarrow A $ tal que $ f\circ h=h\circ g. $ a) Si $ A $ tiene tres elementos, construya un número finito, arbitrario de funciones, teniendo como dominio y codominio $ A, $ que son dos a dos similares, y toda otra función con el mismo dominio y codominio que las determinadas es similar a, al menos, una de ellas. b) Para $ A=\mathbb{R} , $ demuestre que las funciones $ \sin $ y $ -\sin $ son similares.

Sean $ P,Q,R $ polinomios de grado $ 3 $ con coeficientes reales tales que $ P(x)\le Q(x)\le R(x) , $ para todo $ x $ real. Suponga que $ P-R $ admite una raíz. Demuestre que $ Q=kP+(1-k)R, $ para algún número real $ k\in [0,1] . $ ¿Qué sucede si $ P,Q,R $ son de grado $ 4, $ bajo las mismas circunstancias?