2 Determine el valor máximo de $\lambda$ tal que si $f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$ es un polinomio cúbico con todas sus raíces no negativas, entonces \[f(x)\geq\lambda(x -a)^3\] para todo $x\geq0$ . Halle la condición de igualdad.

2 Sea $a$ un número real. Sea $(f_n(x))_{n\ge 0}$ una sucesión de polinomios tal que $f_0(x)=1$ y $f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ para todo entero no negativo $n$ . a) Demuestre que $f_n(x)=x^nf_n\left(x^{-1}\right)$ para todo entero no negativo $n$ . b) Halle una expresión explícita para $f_n(x)$ .

3 Una prueba contiene $5$ preguntas de opción múltiple, cada una con $4$ opciones. Suponga que cada examinado eligió una opción para cada pregunta. Existe un número $n$ tal que, para cualesquiera $n$ hojas entre $2000$ hojas de respuestas, hay $4$ hojas de respuestas tales que cualesquiera dos de ellas tienen a lo sumo $3$ preguntas con las mismas respuestas. Halle el valor mínimo de $n$ .

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existen enteros $n_1,\ldots,n_k\ge 3$ , para algún entero $k$ , que satisfacen \[n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)\cdots (n_k-1)}-1.\]

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle C>\angle B$ . Sea $D$ un punto sobre $BC$ tal que $\angle ADB$ es obtuso, y sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABD$ . Suponga que $F$ es un punto interior del triángulo $ABC$ que está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ . Demuestre que $F$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ si y solo si $HD||CF$ y $H$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

3 Un cubo de $4\times4\times4$ está compuesto por $64$ cubos unitarios. Las caras de $16$ cubos unitarios deben colorearse de rojo. Un coloreado se llama interesante si hay exactamente $1$ cubo unitario rojo en cada caja rectangular de $1\times1\times 4$ compuesta por $4$ cubos unitarios. Determine el número de coloreados interesantes.

2 Dado un entero positivo $n>1$ , determine con demostración si existen $2n$ enteros positivos distintos dos a dos $a_1,\ldots ,a_n,b_1,\ldots b_n$ tales que $a_1+\ldots +a_n=b_1+\ldots +b_n$ y \[n-1>\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i-b_i}{a_i+b_i}>n-1-\frac{1}{1998}.\]

1 Sea $ABC$ un triángulo no obtusángulo que satisface $AB>AC$ y $\angle B=45^{\circ}$ . El circuncentro $O$ y el incentro $I$ del triángulo $ABC$ son tales que $\sqrt{2}\ OI=AB-AC$ . Halle el valor de $\sin A$ .

3 Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales, donde $n\ge 2$ , que satisfacen $\sum_{i=1}^{n}x^2_i+ \sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=1$ . Para cada $k$ , halle el valor máximo de $|x_k|$ .

1 Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_{1997}$ números reales que satisfacen las siguientes condiciones: i) $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le x_i\le \sqrt{3}$ para $i=1,2,\ldots ,1997$ ; ii) $x_1+x_2+\cdots +x_{1997}=-318 \sqrt{3}$ . Determine (con demostración) el valor máximo de $x^{12}_1+x^{12}_2+\ldots +x^{12}_{1997}$ .