Determinar si existen polinomios no constantes $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes reales que satisfagan $$P(x)^{10}+P(x)^9 = Q(x)^{21}+Q(x)^{20}.$$

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $P$ un punto en el lado $AB$. La diagonal $AC$ se encuentra con el segmento $DP$ en $Q$. La línea que pasa por $P$ paralela a $CD$ se encuentra con la extensión del lado $CB$ más allá de $B$ en $K$. La línea que pasa por $Q$ paralela a $BD$ se encuentra con la extensión del lado $CB$ más allá de $B$ en $L$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BKP$ y $CLQ$ son tangentes.

Sean algunos puntos en un plano, no tres colineales. Asociamos un valor positivo o negativo a cada segmento formado por estos. Demuestre que el número de puntos, el número de segmentos con valor negativo asociado y el número de triángulos que tiene un producto negativo de los valores de sus lados, comparten la misma paridad.

Sea $ p $ un número natural y sean dos particiones $ \mathcal{A} =\left\{ A_1,A_2,...,A_p\right\} ,\mathcal{B}=\left\{ B_1,B_2,...B_p\right\} $ de un conjunto finito $ \mathcal{M} . $ Sabiendo que, siempre que un elemento de $ \mathcal{A} $ no tiene ningún elemento en común con otro de $ \mathcal{B} , $ se cumple que el número de elementos de estos dos es mayor que $ p, $ demuestre que $ \big| \mathcal{M}\big|\ge\frac{1}{2}\left( 1+p^2\right) . $ ¿Puede darse la igualdad?

Sea $ k $ un número natural. Se dice que una función $ f:S:=\left\{ x_1,x_2,...,x_k\right\}\longrightarrow\mathbb{R} $ es aditiva si, siempre que $ n_1x_1+n_2x_2+\cdots +n_kx_k=0, $ se cumple que $ n_1f\left( x_1\right)+n_2f\left( x_2\right)+\cdots +n_kf\left( x_k\right)=0, $ para todos los números naturales $ n_1,n_2,...,n_k. $ Demuestre que para cada función aditiva y para cada conjunto finito de números reales $ T, $ existe una segunda función, que es una función aditiva real definida en $ S\cup T $ y que es igual a la anterior en la restricción $ S. $

Demuestre que para cada número natural $ a\ge 3, $ hay infinitos números naturales $ n $ tales que $ a^n\equiv 1\pmod n . $ ¿Esto se cumple para $ n=2? $

a) Demuestre que para cualquier número natural $ n\ge 1, $ existe un conjunto $ \mathcal{M} $ de $ n $ puntos del plano cartesiano tales que el baricentro de cada subconjunto de $ \mathcal{M} $ tiene coordenadas integrales (ambas coordenadas son números enteros). b) Demuestre que si se da un conjunto $ \mathcal{N} $ formado por un número infinito de puntos del plano cartesiano tal que no hay tres de ellos colineales, entonces existe un subconjunto finito de $ \mathcal{N} , $ cuyo baricentro tiene coordenadas no integrales.

a) Demuestre que $ 0=\inf\{ |x\sqrt 2+y\sqrt 3+y\sqrt 5|\big| x,y,z\in\mathbb{Z} ,x^2+y^2+z^2>0 \} $ b) Demuestre que existen tres números racionales positivos $ a,b,c $ tales que la expresión $ E(x,y,z):=xa+yb+zc $ se anula para infinitas ternas enteras $ (x,y,z), $ pero no se acerca arbitrariamente a $ 0. $

Encuentre el lugar geométrico de los puntos $ M $ dentro de un triángulo equilátero $ ABC $ tal que $$ \angle MBC+\angle MCA +\angle MAB={\pi}/{2}. $$

Resuelva la ecuación $ \sin x\sin 2x\cdots\sin nx+\cos x\cos 2x\cdots\cos nx =1, $ para $ n\in\mathbb{N} $ y $ x\in\mathbb{R} . $