1. Inicialmente, el número $1$ está escrito en el pizarrón. En cada paso, el número en el pizarrón se borra y se escribe otro, que se obtiene aplicando cualquiera de las siguientes operaciones: Operación A: Multiplica el número en el pizarrón por $\frac12$ . Operación B: Resta el número en el pizarrón de $1$ . Por ejemplo, si el número $\frac38$ está en el pizarrón, puede reemplazarse por $\frac12 \cdot \frac38=\frac{3}{16}$ o por $1-\frac38=\frac58$ . Da una secuencia de pasos después de la cual el número en el pizarrón sea $\frac{2009}{2^{20009}}$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que el triángulo $ABD$ es equilátero y el triángulo $BCD$ es isósceles, con $\angle C = 90^o$. Si $E$ es el punto medio del lado $AD$, determina la medida del ángulo $\angle CED$.

1# Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determina todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ y $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que $g$ toma infinitos valores y tales que $$ f^{g(n)}(n)=f(n)+k$$ se cumple para todo entero positivo $n$ . ( Observación. Aquí, $f^{i}$ denota la función $f$ aplicada $i$ veces, es decir $f^{i}(j)=f(f(\dots f(j)\dots ))$ . )

Llamamos contagioso a un entero positivo $N$ si existen $1000$ enteros no negativos consecutivos tales que la suma de todos sus dígitos sea $N$. Encuentra todos los enteros positivos contagiosos.

3# Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ e incentro $I$. Supón que el ortocentro $H$ de $BIC$ está dentro de $\omega$. Sea $M$ el punto medio del arco mayor $BC$ de $\omega$. Sea $N$ el punto medio del arco menor $AM$ de $\omega$. Demuestra que existe una circunferencia tangente a $\omega$ en $N$ y tangente a las circunferencias circunscritas de $BHI$ y $CHI$.

4# Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros positivos $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que $$ \frac{1}{x_1^2}+\frac{2}{x_2^2}+\frac{2^2}{x_3^2}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{x_n^2}=1.$$

1 Determina todos los números reales \(A\) tales que toda sucesión de números reales no nulos \(x_1, x_2, \ldots\) que satisface \[ x_{n+1}=A-\frac{1}{x_n} \] para todo entero \(n \ge 1\), tiene solo un número finito de términos negativos.

2 Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Algunas casillas de un tablero de $m \times n$ se colorean de rojo. Una secuencia $a_1, a_2, \ldots , a_{2r}$ de $2r \ge 4$ casillas rojas distintas dos a dos se llama circuito de alfil si para cada $k \in \{1, \ldots , 2r\}$, las casillas $a_k$ y $a_{k+1}$ están en una misma diagonal, pero las casillas $a_k$ y $a_{k+2}$ no están en una misma diagonal (aquí $a_{2r+1}=a_1$ y $a_{2r+2}=a_2$). En términos de $m$ y $n$, determina el número máximo posible de casillas rojas en un tablero de $m \times n$ sin circuito de alfil. (Observación. Dos casillas están en una misma diagonal si la recta que pasa por sus centros corta los lados del tablero con un ángulo de $45^\circ$.)

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto interior del segmento $BC$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en el semiplano determinado por la recta $BC$ que contiene a $A$, de modo que $DE$ es perpendicular a $BE$ y $DE$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ACD$, mientras que $DF$ es perpendicular a $CF$ y $DF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABD$. Demuestra que los puntos $A, D, E$ y $F$ son concíclicos.

4 Sea $n \ge 3$ un entero. La ardilla Zagi se sienta en un vértice de un $n$-ágono regular. Zagi planea hacer un recorrido de $n-1$ saltos tal que en el $i$-ésimo salto, salta $i$ aristas en sentido horario, para $i \in \{1, \ldots,n-1\}$. Demuestra que si después de $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil$ saltos Zagi ha visitado $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil+1$ vértices distintos, entonces después de $n-1$ saltos Zagi habrá visitado todos los vértices. (Observación. Para un número real $x$, denotamos por $\lceil x \rceil$ el entero más pequeño mayor o igual a $x$.)