Para cada número racional $m>0$ consideramos la función $f_m:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},f_m(x)=\frac{1}{m}x+m$ . Denotamos por $G_m$ la gráfica de la función $f_m$ . Sean $p,q,r$ números racionales positivos. a) Demostrar que si $p$ y $q$ son distintos entonces $G_p\cap G_q$ es no vacío. b) Demostrar que si $G_p\cap G_q$ es un punto con coordenadas enteras, entonces $p$ y $q$ son números enteros. c) Demostrar que si $p,q,r$ son números naturales consecutivos, entonces el área del triángulo determinado por las intersecciones de $G_p,G_q$ y $G_r$ es igual a $1$ .

Determinar todos los números reales $a$ y $b$ tales que $a+b\in\mathbb{Z}$ y $a^2+b^2=2$ .

Considerar el ángulo agudo $ABC$ . En la semirrecta $BC$ consideramos los puntos distintos $P$ y $Q$ cuyas proyecciones sobre la recta $AB$ son los puntos $M$ y $N$ . Sabiendo que $AP=AQ$ y $AM^2-AN^2=BN^2-BM^2$ , hallar el ángulo $ABC$ .

Consideramos un trapecio rectángulo $ABCD$ , en el que $AB||CD,AB>CD,AD\perp AB$ y $AD>CD$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $O$ . La paralela a $AB$ que pasa por $O$ interseca a $AD$ en $E$ y $BE$ interseca a $CD$ en $F$ . Demostrar que $CE\perp AF$ si y solo si $AB\cdot CD=AD^2-CD^2$ .

Sean $a$ y $b$ números reales, positivos y distintos. Consideramos el conjunto: $M=\{ ax+by\mid x,y\in\mathbb{R},\ x>0,\ y>0,\ x+y=1\} $ Demostrar que: (i) $\frac{2ab}{a+b}\in M;$ (ii) $\sqrt{ab}\in M.$

Demostrar que no existen enteros $a$ y $b$ tales que $a^3+a^2b+ab^2+b^3=2001$ .

Fijar un círculo $\Gamma$ , una línea $\ell$ tangente a $\Gamma$ , y otro círculo $\Omega$ disjunto de $\ell$ tal que $\Gamma$ y $\Omega$ se encuentran en lados opuestos de $\ell$. Las tangentes a $\Gamma$ desde un punto variable $X$ en $\Omega$ se encuentran con $\ell$ en $Y$ y $Z$. Demostrar que, cuando $X$ varía sobre $\Omega$ , la circunferencia circunscrita de $XYZ$ es tangente a dos círculos fijos.

Sea $n$ un entero positivo y fijar $2n$ puntos distintos en un círculo. Determinar el número de formas de conectar los puntos con $n$ flechas (segmentos de línea orientados) tales que se cumplan todas las siguientes condiciones: cada uno de los $2n$ puntos es un punto de inicio o punto final de una flecha; no hay dos flechas que se intersequen; y no hay dos flechas $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ tales que $A$ , $B$ , $C$ y $D$ aparezcan en orden horario alrededor del círculo (no necesariamente consecutivamente).

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos tales que $ad \neq bc$ y $gcd(a,b,c,d)=1$. Sea $S$ el conjunto de valores alcanzados por $\gcd(an+b,cn+d)$ cuando $n$ recorre los enteros positivos. Demostrar que $S$ es el conjunto de todos los divisores positivos de algún entero positivo.

Ana y Bob juegan un juego en las aristas de una cuadrícula cuadrada infinita, jugando por turnos. Ana juega el primer movimiento. Un movimiento consiste en orientar cualquier arista que aún no haya recibido una orientación. Bob gana si en algún momento se ha creado un ciclo. ¿Tiene Bob una estrategia ganadora?