4 Un cuadrado de lados $1$ y cuatro círculos de radio $1$ , cada uno con un vértice del cuadrado como centro. Halle el área de la parte sombreada (véase la figura). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/6/6e28d94094d69bac13c2702853ac2c906a80a1.png

3 Demuestre que $2005^2$ se puede escribir de al menos $4$ maneras como suma de 2 cuadrados perfectos (no nulos).

4 Si $n$ es un número entero, halle todos los valores de $n$ para los cuales $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}$ también es un número entero.

1 Considere un triángulo con lados de longitudes 501m, 668m, 835m. ¿Cuántas rectas se pueden trazar con la propiedad de que dicha recta divida por la mitad tanto el área como el perímetro?

2 Dos bolsas contienen algunos números y el número total de números es primo. Cuando transferimos el número 170 de la bolsa 1 a la bolsa 2, el promedio en ambas bolsas aumenta en uno. Si la suma total de todos los números es 2004, halle el número de números.

3 Un automóvil tiene un precio entero de 4 cifras, escrito digitalmente (es decir, con números digitales, como probablemente en tu reloj). Mientras el vendedor no mira, el comprador da la vuelta al precio y obtiene el automóvil por 1626 menos. ¿Cuánto costaba inicialmente el automóvil?

2 Evidentemente, podemos poner 100 bolas unitarias en una caja de $10\times10\times1$ . ¿Cómo se pueden poner $105$ bolas unitarias? ¿Cómo podemos poner $106$ bolas unitarias?

3 Elfos y trolls están sentados alrededor de una mesa redonda, 60 criaturas en total. Los trolls siempre mienten y todos los elfos siempre dicen la verdad, excepto cuando cometen un pequeño error. Todos afirman estar sentados entre un elfo y un troll, ¡pero exactamente dos elfos cometieron un error! ¿Cuántos trolls hay en esta mesa? Kurt Gödel

4 Si $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son funciones que satisfacen $f(x+g(y)) = 2x+y $ $\forall x,y \in \mathbb{R}$ , entonces determine $g(x+f(y))$ .

4 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\backslash\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que \[ f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1+\frac{1}{x(1-x)}. \] Kurt Gödel