Sea $n\ge 2$ un entero par y $a,b$ números reales tales que $b^n=3a+1$ . Demostrar que el polinomio $P(X)=(X^2+X+1)^n-X^n-a$ es divisible por $Q(X)=X^3+X^2+X+b$ si y solo si $b=1$ .

Sean $m,k$ enteros positivos, $k<m$ y $M$ un conjunto con $m$ elementos. Demostrar que el número máximo de subconjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_p$ de $M$ para los cuales $A_i\cap A_j$ tiene a lo sumo $k$ elementos, para cada $1\le i<j\le p$ , es igual a $ p_{max}=\binom{m}{0}+\binom{m}{1}+\binom{m}{2}+\ldots+\binom{m}{k+1}$

En el tetraedro $OABC$ denotamos por $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los ángulos $\angle BOC,\angle COA,$ y $\angle AOB$ , respectivamente. Demostrar la desigualdad $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma<1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma $

Sean $a$ y $b$ números complejos no nulos y $z_1,z_2$ las raíces de los polinomios $X^2+aX+b$ . Demostrar que $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ si y solo si existe un número real $\lambda\ge 4$ tal que $a^2=\lambda b$ .

Determinar los sistemas ordenados $(x,y,z)$ de números racionales positivos para los cuales $x+\frac{1}{y},y+\frac{1}{z}$ y $z+\frac{1}{x}$ son enteros.

Sea $n\in\mathbb{N}^*$ y $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ vectores en el plano con longitudes menores o iguales a $1$ . Demostrar que existe $\xi_1,\xi_2,\ldots ,\xi_n\in\{-1,1\}$ tal que $ | \xi_1v_1+\xi_2v_2+\ldots +\xi_nv_n|\le\sqrt{2}$

Sea $ABC$ un triángulo $(A=90^{\circ})$ y $D\in (AC)$ tal que $BD$ es la bisectriz de $B$ . Demostrar que $BC-BD=2AB$ si y solo si $\frac{1}{BD}-\frac{1}{BC}=\frac{1}{2AB} $

Sea $A$ un conjunto de números reales que verifica: $ a) \ 1 \in A \ b) \ x\in A\implies x^2\in A\ c)\ x^2-4x+4\in A\implies x\in A $ Demostrar que $2000+\sqrt{2001}\in A$ .

En el cubo $ABCDA'B'C'D'$ , con lado $a$ , el plano $(AB'D')$ interseca los planos $(A'BC),(A'CD),(A'DB)$ en las rectas $d_1,d_2$ y $d_3$ respectivamente. a) Demostrar que las rectas $d_1,d_2,d_3$ se intersecan por pares. b) Determinar el área del triángulo formado por estas tres rectas.

Consideramos los puntos $A,B,C,D$ , no en el mismo plano, tales que $AB\perp CD$ y $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$ . a) Demostrar que $AC\perp BD$ . b) Demostrar que si $CD<BC<BD$ , entonces el ángulo entre los planos $(ABC)$ y $(ADC)$ es mayor que $60^{\circ}$ .