Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $\angle A$ . Considere los puntos $D \in (AC)$ y $E \in (BD)$ tales que $\angle ABC = \angle ECD = \angle CED$ . Demuestre que $BE = 2 \cdot AD$

Sea $P$ un punto dentro del cuadrado $ABCD$ y $PA = 1$ , $PB = \sqrt2$ y $PC =\sqrt3$ . a) Determine la longitud del segmento $[PD]$ . b) Determine el ángulo $\angle APB$ .

Sea $f:[0,\infty )\rightarrow\mathbb{R}$ una función periódica, con período $1$ , integrable en $[0,1]$ . Para una sucesión estrictamente creciente e ilimitada $(x_n)_{n\ge 0},\, x_0=0,$ con $\lim_{n\rightarrow\infty} (x_{n+1}-x_n)=0$ , denotamos $r(n)=\max \{ k\mid x_k\le n\}$ . a) Demostrar que: $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{r(n)}(x_k-x_{k+1})f(x_k)=\int_0^1 f(x)\, dx$ b) Demostrar que: $ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^{r(n)}\frac{f(\ln k)}{k}=\int_0^1f(x)\, dx$

Sea $f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua. Demostrar que: a) si $\int_0^1 f(\sin (x+\alpha ))\, dx=0$ , para cada $\alpha\in\mathbb{R}$ , entonces $f(x)=0,\ \forall x\in [-1,1]$ . b) si $\int_0^1 f(\sin (nx))\, dx=0$ , para cada $n\in\mathbb{Z}$ , entonces $f(x)=0,\ \forall x\in [-1,1]$ .

Sea $A$ un anillo finito. Demostrar que existen dos números naturales $m,p$ donde $m> p\ge 1$ , tales que $a^m=a^p$ para todo $a\in A$ .

a) Considerar el polinomio $P(X)=X^5\in \mathbb{R}[X]$ . Demostrar que para cada $\alpha\in\mathbb{R}^*$ , el polinomio $P(X+\alpha )-P(X)$ no tiene raíces reales. b) Sea $P(X)\in\mathbb{R}[X]$ un polinomio de grado $n\ge 2$ , con raíces reales y distintas. Demostrar que existe $\alpha\in\mathbb{Q}^*$ tal que el polinomio $P(X+\alpha )-P(X)$ solo tiene raíces reales.

La función continua $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ tiene la propiedad: $\lim_{x\rightarrow\infty}\ n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=0 $ para cada $x\in [0,1)$ . Demostrar que: a) Para cada $\epsilon >0$ y $\lambda\in (0,1)$ , tenemos: $ \sup\ \{x\in[0,\lambda )\mid |f(x)-f(0)|\le \epsilon x \}=\lambda $ b) $f$ es una función constante.

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty )$ una función con la propiedad de que $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ para cada $x,y\in\mathbb{R}$ . Demostrar que: a) Si $\lim_{n\rightarrow \infty} f(x+n)=\infty$ para cada $x\in\mathbb{R}$ , entonces $\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty$ . b) Si $\lim_{n\rightarrow \infty} f(x+n)=\alpha ,\alpha\in[0,\infty )$ para cada $x\in\mathbb{R}$ , entonces $\lim_{x\rightarrow\infty}=\alpha$ .

Consideramos una matriz $A\in M_n(\textbf{C})$ con rango $r$ , donde $n\ge 2$ y $1\le r\le n-1$ . a) Demostrar que existen $B\in M_{n,r}(\textbf{C}), C\in M_{r,n}(\textbf{C})$ , con $ rank B= rank C = r$ , tales que $A=BC$ . b) Demostrar que la matriz $A$ verifica una ecuación polinómica de grado $r+1$ , con coeficientes complejos.

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua, derivable en $R\setminus\{x_0\}$ , que tiene derivadas laterales finitas en $x_0$ . Demostrar que existe una función derivable $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , una función lineal $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y $\alpha\in\{-1,0,1\}$ tales que: $ f(x)=g(x)+\alpha |h(x)|,\ \forall x\in\mathbb{R}$