4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle{BAD} = 90^{\circ}$ y sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sea $M$ el punto medio del lado $CD$, y $E$ la intersección de $BM$ y $AC$. Sea $F$ un punto en el lado $AD$ tal que $BM$ y $EF$ son perpendiculares. Si $CE = AF\sqrt{2}$ y $FD = CE\sqrt{2}$, demuestra que $ABCD$ es un cuadrado.

5 Determina si existe una sucesión infinita de enteros positivos no necesariamente distintos $a_1, a_2, a_3,\ldots$ tal que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ con $1 \leq m < n$, el número $a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_{n}$ no sea divisible por $a_1 + a_2 + \ldots + a_m$.

6 Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots , 2046, 2047, 2048\}$. Dos subconjuntos $A$ y $B$ de $S$ se dicen amigos si se cumplen las siguientes condiciones: No comparten ningún elemento. Ambos tienen el mismo número de elementos. El producto de todos los elementos de $A$ es igual al producto de todos los elementos de $B$. Demuestra que existen dos subconjuntos de $S$ que son amigos y tales que cada uno de ellos contiene al menos $738$ elementos.

1 Demuestra la desigualdad $x_1y_1+x_2y_2+x_2y_1+2x_2y_2\le 1996$ si $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\le 998$ y $y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2\le 3992$ .

2 Dado un conjunto finito de números reales $A$ , que no contiene a $0$ ni a $1$ y que tiene la propiedad: si el número $a$ pertenece a $A$ , entonces los números $\frac{1}{a}$ y $1-a$ también pertenecen a $A$ . ¿Cuántos números hay en el conjunto $A$ ?

3 Nueve puntos del plano, ubicados en los vértices de un nonágono regular, están conectados por pares mediante segmentos, cada uno de los cuales está coloreado de rojo o azul. Se sabe que en cualquier triángulo con vértices en los vértices del nonágono al menos un lado es rojo. Demuestra que existen cuatro puntos tales que cualesquiera dos de ellos están conectados por líneas rojas.

4 Dado un segmento de longitud $7\sqrt3$ . ¿Es posible usar solo el compás para construir un segmento de longitud $\sqrt7$ ?

5 Resuelve la ecuación $\sqrt{1981-\sqrt{1996+x}}=x+15$

6 Dada la sucesión $f_1(a)=sin(0,5\pi a)$ $f_2(a)=sin(0,5\pi (sin(0,5\pi a)))$ $...$ $f_n(a)=sin(0,5\pi (sin(...(sin(0,5\pi a))...)))$ , donde $a$ es cualquier número real. ¿A qué límite tienden los miembros de esta sucesión cuando $n \to \infty$?

En el conjunto de todos los números reales positivos define la operación $a * b = a^b$. Encuentra todos los números racionales positivos para los cuales $a * b = b * a$.