En una mesa hay $k\ge 2$ pilas que tienen $n_1,n_2,\ldots,n_k$ lápices respectivamente. Un movimiento consiste en elegir dos pilas que tienen $a$ y $b$ lápices respectivamente, $a\ge b$ y transferir $b$ lápices de la primera pila a la segunda. Encuentre la condición necesaria y suficiente para $n_1,n_2,\ldots,n_k$ , de modo que exista una sucesión de movimientos a través de los cuales todos los lápices se transfieran a la misma pila.

Demuestre que si $n\ge 2$ es un número natural y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son números reales positivos, entonces: \[4\left(\frac {x_1^3-x_2^3}{x_1+x_2}+\frac {x_2^3-x_3^3}{x_2+x_3}+\ldots+\frac {x_{n-1}^3-x_n^3}{x_{n-1}+x_n}+\frac {x_n^3-x_1^3}{x_n+x_1}\right)\le \\ \le(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_{n-1}-x_n)^2+(x_n-x_1)^2\, .\]

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con la siguiente propiedad: para cualquier intervalo abierto acotado $I$ , el conjunto $f(I)$ es un intervalo abierto que tiene la misma longitud que $I$ .

La altitud $[BH]$ que cae sobre la hipotenusa de un triángulo $ABC$ interseca las bisectrices $[AD]$ y $[CE]$ en $Q$ y $P$ respectivamente. Demuestre que la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos $[QD]$ y $[PE]$ es paralela a la línea $AC$ .

Para cualquier número numérico no vacío $A$ y $B$ , denotamos $$A + B = \{a + b | a \in A, b \in B\} $$ a) Determine el número natural más grande no $p$ con la propiedad: existe $A,B \subset N$ tal que $card \, A = card\, B = p$ y $A+B = \{0, 1, 2,..., 2012\}$ b) Determine el número natural más pequeño $n$ con la propiedad: existe $A,B \subset N$ tal que $card \, A = card\, B $ y $A+B =\{0, 1, 2,..., 2012\}$

Sean $ACD$ y $BCD$ triángulos acutángulos ubicados en diferentes planos. Sean $G$ y $H$ el centroide y el ortocentro respectivamente del triángulo $BCD$; Similarmente sean $G'$ y $H'$ el centroide y el ortocentro del triángulo $ACD$. Sabiendo que $HH'$ es perpendicular al plano $(ACD)$ , demuestre que $GG' $ es perpendicular al plano $(BCD)$ .

En el plano $xOy$ , se consideran muchos puntos $$X = \{P (a, b) | (a, b) \in \{1, 2,..., 10\} \times \{1, 2,..., 10 \}\}$$ Determine el número de líneas diferentes que se pueden obtener uniendo dos de ellos entre los puntos del conjunto $X$ ; de modo que dos líneas cualesquiera no sean paralelas.

Determine los números reales $a, b, c, d$ de modo que $$ab + c + d = 3, \,\, bc + d + a = 5, \,\, cd + a + b = 2 \,\,\,\, y \,\,\,\,da + b + c = 6$$

Nombre reducido de un número natural $A$ con $n$ dígitos ( $n \ge 2$ ) un número de $n-1$ dígitos obtenido al eliminar uno de los dígitos de $A$ : Por ejemplo, los nombres reducidos de $1024$ son $124$ , $104$ y $120$ . Determine cuántos números de siete dígitos no se pueden escribir como la suma de un número natural $A$ y un nombre reducido de $A$ .

Consideremos los números naturales no nulos $(m, n)$ tales que los números $$\frac{m^2 + 2n}{n^2 - 2m} \,\,\,\, y \,\,\, \frac{n^2 + 2m}{m^2-2n}$$ son enteros. a) Demuestre que $|m - n| \le 2$ : b) Encuentre todos los pares $(m, n)$ con la propiedad de la hipótesis $a$ .