3 Sean $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ sucesiones de números reales positivos que satisfacen $$a_n=\sqrt{\frac{1}{100} \sum\limits_{j=1}^{100} b_{n-j}^2}$$ y $$b_n=\sqrt{\frac{1}{100} \sum\limits_{j=1}^{100} a_{n-j}^2}$$ para todo $n\ge 101$ . Demuestre que existe $m\in \mathbb{N}$ tal que $|a_m-b_m|<0.001$ . Link

1 En el triángulo ABC, X e Y están sobre la bisectriz del ángulo ∠BAC y ∠ABX=∠ACY. BX interseca a CY en P, y las circunferencias (BYP) y (CXP) se intersecan en Q, distinto de P. Demuestre que A, P, Q están sobre una recta.

3 Dados $n\geq 2$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n\in\mathbb {R}$ que satisfacen $$a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots \geqslant a_n\geqslant 0,a_1+a_2+\cdots +a_n=n.$$ . Halle el valor mínimo de $a_1+a_1a_2+\cdots +a_1a_2\cdots a_n$ .

4 El entero positivo que se forma al escribir $k$ enteros positivos consecutivos de menor a mayor se denomina un número $k-\text{continuous}$ . Por ejemplo, $99100101$ es un número $3-\text{continuous}$ . Demuestre que: para $\forall N$ , $k\in\mathbb Z^+$ , debe existir un número $k-\text{continuous}$ que sea divisible por $N$ .

2 Sea $n\geq3$ un entero dado, y sean $a_1,a_2,\cdots,a_{2n},b_1,b_2,\cdots,b_{2n}$ $4n$ reales no negativos, tales que $$a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=b_1+b_2+\cdots+b_{2n}>0,$$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,2n,$ , $a_ia_{i+2}\geq b_i+b_{i+1},$ donde $a_{2n+1}=a_1,$ , $a_{2n+2}=a_2,$ , $b_{2n+1}=b_1.$ . Determine el mínimo de $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}.$ .

4 Dado un polígono convexo con 20 vértices, hay muchas maneras de triangularlo (como 18 triángulos). Al diagrama de triangulación, es decir, los 20 vértices con 37 aristas (17 aristas de triangulación y las 20 aristas originales), lo llamamos un T-diagrama. Y al subconjunto de este T-diagrama con 10 aristas que cubre los 20 vértices (es decir, dos aristas cualesquiera del subconjunto no cubren el mismo vértice) se le llama un “emparejamiento perfecto” de este T-diagrama. Entre todos los T-diagramas, halle el número máximo de “emparejamientos perfectos” de un T-diagrama.

3 Sean $a_1=1,$ $a_2=2,$ $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},$ $n=3,4,\cdots.$ . Demuestre que para cualquier entero $n\geq5,$ $a_n$ tiene al menos un factor primo $p,$ tal que $p\equiv 1\pmod{4}.$ .

1 En el triángulo $ABC,$ $AB=BC,$ y sea $I$ el incentro de $\triangle ABC.$ $M$ es el punto medio del segmento $BI.$ $P$ se encuentra sobre el segmento $AC,$ tal que $AP=3PC.$ $H$ se encuentra sobre la recta $PI,$ tal que $MH\perp PH.$ $Q$ es el punto medio del arco $AB$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Demuestre que $BH\perp QH.$ .

1 En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . El punto $P$ se encuentra en el interior de $\triangle ABC$ tal que $AP$ biseca a $\angle BAC$ . La recta $MP$ interseca a las circunferencias circunscritas de $\triangle ABP,\triangle ACP$ en $D,E$ respectivamente. Demuestre que si $DE=MP$ , entonces $BC=2BP$ .

2 Demuestre que toda Transformación Lineal Fraccionaria (FLT) puede expresarse como una composición de un número finito de involuciones.