1 ¿Existe un entero positivo $n$ tal que el número $n(n + 1)(n + 2)$ sea el cuadrado de un entero positivo?

2 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $E$ un punto sobre el lado $AD$ , tal que $\frac{AE}{ED} = m$ . Sea $F$ un punto sobre $CE$ , tal que $BF \perp CE$ , y el punto $G$ es simétrico de $F$ con respecto a $AB$ . Si el punto $A$ es el circuncentro del triángulo $BFG$ , halle el valor de $m$ .

Hay $2003$ monedas distribuidas en varias bolsas. Las bolsas se distribuyen luego en varios bolsillos. Se sabe que el número total de bolsas es mayor que el número de monedas en cada uno de los bolsillos. ¿Es cierto que el número total de bolsillos es mayor que el número de monedas en algunas de las bolsas?

3 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales tales que $0 < a \le b \le c$ . Demuestre que $(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) \ge 60abc$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo dado. El círculo circunscrito del triángulo tiene radio $R$ , el círculo inscrito tiene radio $r$ , el lado más largo del triángulo es $a$ , mientras que la altura más corta es $h$ . Muestre que: $\frac{R}{r} > \frac{a}{h}$ .

4 Los números $a_{1}, a_{2}, ..., a_{20}$ satisfacen las siguientes condiciones: $a_{1} \ge a_{2} \ge ... \ge a_{20} \ge 0$ $a_{1} + a_{2} = 20$ $a_{3} + a_{4} + ... + a_{20} \le 20$ . ¿Cuál es el valor máximo de la expresión: $a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{20}^2$ ? ¿Para qué valores de $a_{1}, a_{2}, ..., a_{20}$ se alcanza el valor máximo?

Muestre que para todo entero positivo $n$ el número $7^n-1$ no es divisible por $6^n-1$ .

6 En el triángulo $\triangle ABC$ , $BC>AC$ , $I_B$ es el excéntrico $B$ , la recta que pasa por $C$ paralela a $AB$ corta a $BI_B$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $AI_B$ y la excircunferencia $A$ toca al lado $AB$ en $D$ . El punto $E$ satisface $\angle BAC=\angle BDE, DE=BC$ y se encuentra en el mismo lado de $AB$ que $C$ . Sea $EC$ que corta a $AB,FM$ en $P,Q$ respectivamente. Demuestre que $P,A,M,Q$ son concíclicos.

3 Halle todas las funciones $f: \Re \to \Re$ : \[ f( x^{3} )+ f(y^{3}) = (x+y)(f(x^{2} )+f(y^{2} )-f(xy))\]

5 Se da una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq 1$ . Demuestre la existencia de una función aditiva $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ (es decir, $g(x+y)=g(x)+g(y)$ ) tal que $|f(x)-g(x)|\leq 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$