Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo y sea $f$ un endomorfismo sobreyectivo de $R$ tal que $[x,f(x)]=0$ para cualquier $x\in R$ , donde $[a,b]=ab-ba$ , $a,b\in R$ . Demuestre que: a) $[x,f(y)]=[f(x),y]$ y $x[x,y]=f(x)[x,y]$ , para cualquier $x,y\in R\ ;$ b) Si $R$ es un anillo de división y $f$ es diferente de la función identidad, entonces $R$ es conmutativo.

Sea $f\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua tal que $\int_0^nf(x)f(n-x)\ \text{d}x=\int_0^nf^2(x)\ \text{d}x$ , para cualquier número natural $n\ge 1$ . Demuestre que $f$ es una función periódica.

Encuentre todas las funciones diferenciables $f\colon [0,\infty)\to [0,\infty)$ para las cuales $f(0)=0$ y $f^{\prime}(x^2)=f(x)$ para cualquier $x\in [0,\infty)$ .

Sean $A,B\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ tales que $AB=BA$ y $\det (A^2+AB+B^2)=0$ . Demuestre que: \[\det (A+B)+3\det (A-B)=6\det (A)+6\det (B)\ .]

Sean $n$ y $k$ dos números naturales tales que $n\ge 2$ y $1\le k\le n-1$ . Demuestre que si la matriz $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tiene exactamente $k$ menores de orden $n-1$ iguales a $0$ , entonces $\det (A)\ne 0$ .

Sean $f,g\colon [0,1]\to [0,1]$ dos funciones tales que $g$ es monótona, sobreyectiva y $|f(x)-f(y)|\le |g(x)-g(y)|$ , para cualquier $x,y\in [0,1]$ . a) Demuestre que $f$ es continua y que existe algún $x_0\in [0,1]$ con $f(x_0)=g(x_0)$ . b) Demuestre que el conjunto $\{x\in [0,1]\, |\, f(x)=g(x)\}$ es un intervalo cerrado.

Sean $n$ y $m$ dos números naturales, $m\ge n\ge 2$ . Encuentre el número de funciones inyectivas \[f\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,m\}\] tales que existe un número único $i\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ para el cual $f(i)>f(i+1)\, .$

Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $0<a<b$ . Demuestre que: a) $2\sqrt {ab}\le\frac {x+y+z}3+\frac {ab}{\sqrt[3]{xyz}}\le a+b$ , para $x,y,z\in [a,b]\, .$ b) $\left\{\frac {x+y+z}3+\frac {ab}{\sqrt[3]{xyz}}\, |\, x,y,z\in [a,b]\right\}=[2\sqrt {ab},a+b]\, .$

Sean $a$ , $b$ y $c$ tres números complejos tales que $a+b+c=0$ y $|a|=|b|=|c|=1$ . Demuestre que: \[3\le |z-a|+|z-b|+|z-c|\le 4,\] para cualquier $z\in\mathbb{C}$ , $|z|\le 1\, .$

Sea $M=\{x\in\mathbb{C}\, |\, |z|=1,\ \text{Re}\, z\in\mathbb{Q}\, .\}$ Demuestre que existen infinitos triángulos equiláteros en el plano complejo que tienen todos los afijos de sus vértices en el conjunto $M$ .