a) Demuestra que podemos asignar uno de los números $1$ o $-1$ a los vértices de un cubo tal que el producto de los números asignados a los vértices de cualquier cara es igual a $-1$ . b) Demuestra que para un prisma hexagonal tal mapeo no es posible.

Demuestra que existe una infinidad de números irracionales $x,y$ tales que el número $x+y=xy$ es un entero no negativo.

Para un entero positivo $n$ denotamos por $u(n)$ el número primo más grande menor o igual que $n$ , y con $v(n)$ el número primo más pequeño mayor que $n$ . Demuestra que \[ \frac 1 {u(2)v(2)} + \frac 1{u(3)v(3)} + \cdots + \frac 1{ u(2010)v(2010)} = \frac 12 - \frac 1{2011}. \]

En el plano del triángulo $ABC$ con $\angle BAC = 90^\circ$ elevamos líneas perpendiculares en $A$ y $B$ , en el mismo lado del plano. En estas dos líneas perpendiculares consideramos los puntos $M$ y $N$ respectivamente tales que $BN < AM$ . Sabiendo que $AC = 2a$ , $AB = a\sqrt 3$ , $AM=a$ y que el plano $MNC$ forma un ángulo de $30^\circ$ con el plano $ABC$ encuentra a) el área del triángulo $MNC$ ; b) la distancia desde $B$ al plano $MNC$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Sea $D$ el punto medio de $BC$ , $M$ el punto medio de $AD$ y $N$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $BM$ . Demuestra que $\angle ANC = 90^\circ$ .

Un conjunto $M$ de enteros positivos se llama conectado si para cualquier elemento $x\in M$ al menos uno de los números $x-1,x+1$ está en $M$ . Sea $U_n$ el número de subconjuntos conectados de $\{1,2,\ldots,n\}$ . a) Calcula $U_7$ ; b) Encuentra el número más pequeño $n$ tal que $U_n \geq 2006$ .

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle ABC = 2 \angle ACB$ . Demuestra que a) $AC^2 = AB^2 + AB \cdot BC$ ; b) $AB+BC < 2 \cdot AC$ .

Demuestra que para todo entero positivo $n$ , $n>1$ el número $\sqrt{ \overline{ 11\ldots 44 \ldots 4 } }$ , donde 1 aparece $n$ veces, y 4 aparece $2n$ veces, es irracional.

Sean $m$ y $n$ dos números naturales distintos de cero. Determine el número mínimo de raíces complejas distintas del polinomio $\prod_{k=1}^m\, (f+k)$ , cuando $f$ cubre el conjunto de polinomios de grado $n^{\text{th}}$ con coeficientes complejos.

Sea $\mathcal{C}$ el conjunto de funciones integrables $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ tales que $0\le f(x)\le x$ para cualquier $x\in [0,1]$ . Defina la función $V\colon\mathcal{C}\to\mathbb{R}$ por \[V(f)=\int_0^1f^2(x)\ \text{d}x-\left(\int_0^1f(x)\ \text{d}x\right)^2\ ,\ f\in\mathcal{C}\ .] Determine los siguientes dos conjuntos: a) $\{V(f_a)\, |\, 0\le a\le 1\}$ , donde $f_a(x)=0$ , si $0\le x\le a$ y $f_a(x)=x$ , si $a<x\le 1\, ;$ b) $\{V(f)\, |\, f\in\mathcal{C}\}\ .$