4 Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos no vacíos de $X = \{1, 2, . . . , 8 \}$ con $A \cup B = X$ y $A \cap B = \emptyset$ . Sea $P_A$ el producto de todos los elementos de $A$ y sea $P_B$ el producto de todos los elementos de $B$ . Halle el mínimo valor posible de la suma $P_A +P_B$ . PD. Es una variación de JBMO Shortlist 2019 A3

1 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB>AC$ inscrito en un círculo de centro $O$ . Desde el punto medio $D$ del lado $BC$ trazamos la recta $(\ell)$ perpendicular al lado $AB$ que lo interseca en el punto $E$ . Si la recta $AO$ interseca a la recta $(\ell)$ en el punto $Z$ , demuestre que los puntos $A,Z,D,C$ son concíclicos.

2 Halle todos los pares de enteros positivos $(x,n) $ que son soluciones de la ecuación $3 \cdot 2^x +4 =n^2$ .

3 Sean $a,b,c$ números reales positivos . Demuestre que $$ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)}\geq\frac{3}{(1+abc)^2}.$$

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC<BC, c$ su círculo circunscrito y $D,E$ los puntos medios de $AB,AC$ respectivamente. Con diámetros los lados $AB,AC$ , trazamos semicírculos, exteriores al triángulo, que son intersecados por la recta $D$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Las rectas $MB$ y $NC$ intersecan al círculo circunscrito en los puntos $T,S$ respectivamente. Las rectas $MB$ y $NC$ se intersecan en el punto $H$ . Demuestre que: a) el punto $H$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $AMN$ b) las rectas $AH$ y $TS$ son perpendiculares y su intersección, sea esta $Z$ , es el circuncentro del triángulo $AMN$

3 $12$ amigos juegan un torneo de tenis, donde cada uno juega solo un partido contra cualquiera de los otros once. El ganador obtiene un punto. El perdedor obtiene cero puntos, y no hay empates. Los puntajes finales de los participantes son $B_1, B_2, ..., B_{12}$ . Halle el mayor valor posible de la suma $\Sigma_3=B_1^3+B_2^3+ ... + B_{12}^3$ .

4 Halle todos los enteros positivos $x,y,z$ con $z$ impar, que satisfacen la ecuación: $$2018^x=100^y + 1918^z$$

1 Los números reales positivos $a,b,c$ satisfacen $a+b+c=1$ . Demuestre que $$(a+1)\sqrt{2a(1-a)} + (b+1)\sqrt{2b(1-b)} + (c+1)\sqrt{2c(1-c)} \geq 8(ab+bc+ca).$$ Además, halle los valores de $a,b,c$ para los cuales se cumple la igualdad. Amir

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\mathcal C (O, R)$ y $F$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $AF < AB/2$ . El círculo $c_1(F, FA)$ interseca a la recta $OA$ en el punto $A'$ y al círculo $\mathcal C$ en $K$ . Demuestre que el cuadrilátero $BKFA'$ es cíclico y que su circunferencia circunscrita contiene al punto $O$ . Amir

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ , el número $A_n = 7^{2n} -48n - 1$ es múltiplo de $9$ . Amir