2 Sea ${I}$ el incentro de $\triangle {ABC}$ y ${BX}$, ${CY}$ sus dos bisectrices. ${M}$ es el punto medio del arco $\overset{\frown}{BAC}$. Se sabe que $MXIY$ son concíclicos. Demuestra que el área del cuadrilátero $MBIC$ es igual a la del pentágono $BXIYC$. Propuesto por Dominik Burek - Polonia

3 Hay varios discos cuyos radios no superan $1$, y cuyos centros están todos sobre un segmento de longitud ${l}$. Demuestra que la unión de todos los discos tiene un perímetro que no excede $4l+8$. Propuesto por Morteza Saghafian - Irán

4 Sea $ABC$ un triángulo con las bisectrices $BE$ y $CF$ que se cortan en $I$. Sea $D$ la proyección de $I$ sobre $BC$. Sean $M$ y $N$ los ortocentros de los triángulos $AIF$ y $AIE$, respectivamente. Las rectas $EM$ y $FN$ se cortan en $P$. Sea $X$ el punto medio de $BC$. Sea $Y$ el punto sobre la recta $AD$ tal que $XY \perp IP$. Demuestra que la recta $AI$ biseca al segmento $XY$. Propuesto por Tran Quang Hung - Vietnam

35 Demuestre que existen números naturales distintos $m_1,m_2, \cdots , m_k$ que satisfacen las condiciones \[\pi^{-1984}<25-\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots+\frac{1}{m_k}\right)<\pi^{-1960}\] donde $\pi$ es la razón entre una circunferencia y su diámetro.

3 Las diagonales de un cuadrilátero $ ABCD$ son perpendiculares: $ AC \perp BD.$ Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro cuadrados, $ ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL,$ Los puntos de intersección de los pares de rectas $ CL, DF, AH, BJ$ se denotan por $ P_1,Q_1,R_1, S_1,$ respectivamente (figura izquierda), y los puntos de intersección de los pares de rectas $ AI, BK, CE DG$ se denotan por $ P_2,Q_2,R_2, S_2,$ respectivamente (figura derecha). Demuestre que $ P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2$ donde $ P_1,Q_1,R_1, S_1$ y $ P_2,Q_2,R_2, S_2$ son los dos cuadriláteros. Formulación alternativa: Exteriormente a un cuadrilátero convexo $ ABCD$ de diagonales perpendiculares se construyen cuatro cuadrados $ AEFB, BGHC, CIJD, DKLA,$ (los vértices se dan en orden antihorario). Demuestre que los cuadriláteros $ Q_1$ y $ Q_2$ formados por las rectas $ AG, BI, CK, DE$ y $ AJ, BL, CF, DH,$ respectivamente, son congruentes.

5 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, y $D$ es la proyección de $A$ sobre $BC$. El punto $O$ es el circuncentro de $ABC$, y las circunferencias circunscritas de $BOC$ y $DMN$ se intersectan en los puntos $R, T$. Las rectas $DT$ y $DR$ intersectan a la recta $MN$ en $E$ y $F$, respectivamente. Las rectas $CT$ y $BR$ se intersectan en $K$. Un punto $P$ está sobre $KD$ tal que $PK$ es la bisectriz del ángulo $\angle BPC$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de $ART$ y $PEF$ son tangentes. Propuesto por Mehran Talaei - Irán

1 Sea $F=\{1,2,...,100\}$ y sea $G$ cualquier subconjunto de $F$ con $10$ elementos. Demuestra que existen dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $S$ y $T$ de $G$ con la misma suma de elementos.

3 A Arash se le da un triángulo rectángulo isósceles de papel. Un doblez de este papel se llama bueno si el polígono obtenido después de este doblez tiene todos sus ángulos menores que $180^\circ$. Arash realiza un doblez bueno. Babak toma el papel y realiza dos dobleces buenos, de modo que al final el papel queda doblado exactamente tres veces. Arash quiere que el polígono final tenga el mayor número posible de lados, pero Babak quiere lo contrario. Suponiendo que ambos hacen su mejor jugada, ¿cuántos lados tiene el polígono final? Propuesto por Arvin Taheri - Irán

3 Sean $c_1,c_2,\ldots ,c_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n$ $(n\geq 2)$ números reales positivos. Demuestra que la ecuación \[ \sum_{i=1}^nc_i\sqrt{x_i-b_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nx_i\] tiene una solución única $(x_1,\ldots ,x_n)$ si y solo si $\sum_{i=1}^nc_i^2=\sum_{i=1}^nb_i$ .

C1 Sea $S$ el conjunto de aristas de una cuadrícula rectangular de $m \times n$ . ¿Cuál es el menor número de rectángulos tal que la unión de sus perímetros sea $S$ ? Benny Wang