Sean $n,p \geq 2$ dos enteros y $A$ una matriz de $n\times n$ con elementos reales tal que $A^{p+1} = A$ . a) Demuestra que $\textrm{rango} \left( A \right) + \textrm{rango} \left( I_n - A^p \right) = n$ . b) Demuestra que si $p$ es primo entonces \[ \textrm{rango} \left( I_n - A \right) = \textrm{rango} \left( I_n - A^2 \right) = \ldots = \textrm{rango} \left( I_n - A^{p-1} \right) . \]

Sea $x>0$ un número real y $A$ una matriz cuadrada de $2\times 2$ con entradas reales tal que $\det {(A^2+xI_2 )} = 0$ . Demuestra que $\det{ (A^2+A+xI_2) } = x$ .

a) Encuentra dos conjuntos $X,Y$ tales que $X\cap Y =\emptyset$ , $X\cup Y = \mathbb Q^{\star}_{+}$ y $Y = \{a\cdot b \mid a,b \in X \}$ . b) Encuentra dos conjuntos $U,V$ tales que $U\cap V =\emptyset$ , $U\cup V = \mathbb R$ y $V = \{x+y \mid x,y \in U \}$ .

Decimos que un prisma es binario si existe un etiquetado de los vértices del prisma con enteros del conjunto $\{-1,1\}$ tal que el producto de los números asignados a los vértices de cada cara (base o cara lateral) es igual a $-1$ . a) Demuestra que cualquier prisma binario tiene el número de vértices totales divisible por 8; b) Demuestra que cualquier prisma con 2000 vértices es binario .

Sea $ABC$ un triángulo y sean $M,N,P$ puntos en los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente tales que \[ \frac{AP}{PB} = \frac{BM}{MC} = \frac{CN}{AN}. \] Demuestra que si el triángulo $MNP$ es equilátero entonces el triángulo $ABC$ es equilátero.

Sean $ a,b,c\in (0,1)$ y $ x,y,z\in (0, + \infty)$ seis números reales tales que \[ a^x = bc , \quad b^y = ca , \quad c^z = ab .\] Demuestra que \[ \frac 1{2 + x} + \frac 1{2 + y} + \frac 1{2 + z} \leq \frac 34 .\]

Para cada entero positivo $n\geq 2$ denotamos con $p(n)$ el número primo más grande menor o igual que $n$ , y con $q(n)$ el número primo más pequeño mayor que $n$ . Demuestra que \[ \sum^n_{k=2} \frac 1{p(k)q(k)} < \frac 12. \]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, $M$ el punto medio de $AB$ , $N$ el punto medio de $BC$ , $E$ la intersección de los segmentos $AN$ y $BD$ , $F$ la intersección de los segmentos $DM$ y $AC$ . Demuestra que si $BE = \frac 13 BD$ y $AF = \frac 13 AC$ , entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

Un arreglo de $9\times 9$ está lleno de enteros del 1 al 81. Demuestra que existe $k\in\{1,2,3,\ldots, 9\}$ tal que el producto de los elementos en la fila $k$ es diferente del producto de los elementos en la columna $k$ del arreglo.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demuestra la siguiente desigualdad: \[ \frac 1{x^2+yz} + \frac 1{y^2+zx } + \frac 1{z^2+xy} \leq \frac 12 \left( \frac 1{xy} + \frac 1{yz} + \frac 1{zx} \right). \]