Sean dos números naturales $ m,n, $ y $ m $ conjuntos disjuntos por pares de números naturales $ A_0,A_1,\ldots ,A_{m-1}, $ cada uno con $ n $ elementos, tales que ningún elemento de $ A_{i\pmod m} $ es divisible por un elemento de $ A_{i+1\pmod m} , $ para cualquier número natural $ i. $ Determine el número de pares ordenados $$ (a,b)\in\bigcup_{0\le j < m} A_j\times\bigcup_{0\le j < m} A_j $$ tal que $ a|b $ y tal que $ \{ a,b \}\not\in A_k, $ para cualquier $ k\in\{ 0,1,\ldots ,m-1 \} . $

Sean tres enteros positivos $ a,b,c $ y una función $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ definida como $$ f(n)=\left\{ \begin{matrix} n-a, & n>c\\ f\left( f(n+b) \right) ,& n\le c \end{matrix} \right. . $$ Determine el número de puntos fijos que tiene esta función.

Las alturas que pasan por los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ se encuentran con los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La línea que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ se encuentra con las líneas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La línea $ EF$ se encuentra con $ BC$ en $ P.$ Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$

Sea $k\geq 2$, $n_1,n_2,\cdots ,n_k\in \mathbb{N}_+$ , tal que $n_2|2^{n_1}-1,n_3|2^{n_2}-1,\cdots ,n_k|2^{n_{k-1}}-1,n_1|2^{n_k}-1$ . Pruebe : $n_ 1=n_ 2=\cdots=n_k=1$ .

Sea $\mathcal F = \{ f: [0,1] \to [0,\infty) \mid f$ continua $\}$ y $n$ un entero, $n\geq 2$ . Encuentra la constante real más pequeña $c$ tal que para cualquier $f\in \mathcal F$ la siguiente desigualdad se cumple \[ \int^1_0 f \left( \sqrt [n] x \right) dx \leq c \int^1_0 f(x) dx. \]

Demuestra que si $A$ es un anillo conmutativo finito con al menos dos elementos y $n$ es un entero positivo, entonces existe un polinomio de grado $n$ con coeficientes en $A$ que no tiene ninguna raíz en $A$ .

Sea $G= \{ A \in \mathcal M_2 \left( \mathbb C \right) \mid |\det A| = 1 \}$ y $H =\{A \in \mathcal M_2 \left( \mathbb C \right) \mid \det A = 1 \}$ . Demuestra que $G$ y $H$ junto con la operación de multiplicación de matrices son dos grupos no isomorfos.

Sean $f_1,f_2,\ldots,f_n : [0,1]\to (0,\infty)$ $n$ funciones continuas, $n\geq 1$ , y sea $\sigma$ una permutación del conjunto $\{1,2,\ldots, n\}$ . Demuestra que \[ \prod^n_{i=1} \int^1_0 \frac{ f_i^2(x) }{ f_{\sigma(i)}(x) } dx \geq \prod^n_{i=1} \int^1_0 f_i(x) dx. \]

Decimos que una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tiene la propiedad $(P)$ si, para cualquier número real $x$ , \[ \sup_{t\leq x} f(x) = x. \] a) Da un ejemplo de una función con propiedad $(P)$ que tiene una discontinuidad en cada punto real. b) Demuestra que si $f$ es continua y satisface $(P)$ entonces $f(x) = x$ , para todo $x\in \mathbb R$ .

Sea $\{x_n\}_{n\geq 0}$ una secuencia de números reales que satisfacen \[ (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}+x_n+1) \leq 0, \quad n\geq 0. \] a) Demuestra que la secuencia está acotada; b) ¿Es posible que la secuencia no sea convergente?