1 Para un primo $p$ , un número natural $n$ y un entero $a$ , denotamos por $S_n(a,p)$ el exponente de $p$ en la factorización prima de $a^{p^n} - 1$ . Por ejemplo, $S_1(4,3) = 2$ y $S_2(6,2) = 0$ . Halle todos los pares $(n,p)$ tales que $S_n(2013,p) = 100$ .

2 Halle todos los enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x^{x+y}=y^{3x}$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ . Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ , y sean $K, L, M, N$ los circuncentros de los triángulos $AOP, BOP$ , $COP, DOP$ , respectivamente. Demuestre que $KL = MN$ .

3 Definimos una operación $\oplus$ sobre el conjunto $\{0, 1\}$ mediante \[ 0 \oplus 0 = 0 \,, 0 \oplus 1 = 1 \,, 1 \oplus 0 = 1 \,, 1 \oplus 1 = 0 \,.\] Para dos números naturales $a$ y $b$ , que se escriben en base $2$ como $a = (a_1a_2 \ldots a_k)_2$ y $b = (b_1b_2 \ldots b_k)_2$ (posiblemente con ceros a la izquierda), definimos $a \oplus b = c$ , donde $c$ escrito en base $2$ es $(c_1c_2 \ldots c_k)_2$ con $c_i = a_i \oplus b_i$ , para $1 \le i \le k$ . Por ejemplo, tenemos $7 \oplus 3 = 4$ ya que $ 7 = (111)_2$ y $3 = (011)_2$ . Para un número natural $n$ , sea $f(n) = n \oplus \left[ n/2 \right]$ , donde $\left[ x \right]$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ . Demuestre que $f$ es una biyección sobre el conjunto de los números naturales.

1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 1$ . Si $n$ es un entero positivo, entonces demuestre que \[ \frac{(3a)^n}{(b + 1)(c + 1)} + \frac{(3b)^n}{(c + 1)(a + 1)} + \frac{(3c)^n}{(a + 1)(b + 1)} \ge \frac{27}{16} \,. \]

2 En un triángulo $ABC$ con $B = 90^\circ$ , $D$ es un punto del segmento $BC$ tal que los inradios de los triángulos $ABD$ y $ADC$ son iguales. Si $\widehat{ADB} = \varphi$ , entonces demuestre que $\tan^2 (\varphi/2) = \tan (C/2)$ .

3 Se coloca una ficha en el origen de un retículo de enteros. Calvin y Hobbes juegan al siguiente juego. Calvin comienza el juego y cada uno de ellos juega por turnos alternados. En cada turno, uno puede elegir dos enteros $a, b$ (no necesariamente distintos), ninguno de los cuales fue elegido antes por ningún jugador, y mover la ficha $a$ unidades en la dirección horizontal y $b$ unidades en la dirección vertical. Hobbes gana si la ficha vuelve al origen en cualquier momento después del primer turno. Demuestre o refute que Calvin puede evitar que Hobbes gane. Nota: Un movimiento en la dirección horizontal de una cantidad positiva será hacia la derecha, y de una cantidad negativa será hacia la izquierda (y direcciones similares en el caso vertical).

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo con incentro $I$. Sean las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A_1, \angle A_2, \angle A_3$ que cortan nuevamente a la circunferencia circunscrita en $B_1, B_2, B_3$, respectivamente. Demuestra que $$ \frac{IA_i^2}{IB_i}\ge 2r $$ para cualquier $i\in \{1,2,3\}$, donde $r$ es el radio de la circunferencia inscrita del triángulo $A_1A_2A_3$.

1 Sea $n \ge 2$ un entero. Hay $n$ cuentas numeradas $1, 2, \ldots, n$ . Dos collares formados con algunas de estas cuentas se consideran iguales si podemos obtener uno rotando el otro (sin permitir volteos). Por ejemplo, con $n \ge 5$ , el collar con cuatro cuentas $1, 5, 3, 2$ en el orden horario es igual al que tiene $5, 3, 2, 1$ en el orden horario, pero es diferente del que tiene $1, 2, 3, 5$ en el orden horario. Denotamos por $D_0(n)$ (respectivamente $D_1(n)$ ) el número de maneras en que podemos usar todas las cuentas para formar un número par (resp. un número impar) de collares, cada uno de longitud al menos $3$ . Demuestre que $n - 1$ divide a $D_1(n) - D_0(n)$ .

2 En un triángulo $ABC$ , con $\widehat{A} > 90^\circ$ , sean $O$ y $H$ su circuncentro y su ortocentro, respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $H$ con respecto a $A$ . Demuestre que $K, O$ y $C$ son colineales si y solo si $\widehat{A} - \widehat{B} = 90^\circ$ .