Encuentre todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que $m^6 = n^{n+1} + n -1$ .

Sean $ I,O $ el incentro, respectivamente, el circuncentro de un triángulo $ ABC. $ El $ A\text{-excircle} $ toca las líneas $ AB,AC,BC $ en $ K,L, $ respectivamente, $ M. $ El punto medio de $ KL $ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ ABC. $ Demuestre que los puntos $ I,M,O $ son colineales.

Para un número natural $ n, $ una cadena $ s $ de $ n $ dígitos binarios y un número natural $ k\le n, $ defina un $ n,s,k$ -bloque como una cadena de $ k $ elementos consecutivos de $ s. $ Decimos que dos $ n,s,k\text{-bloques} , $ a saber, $ a_1a_2\ldots a_k,b_1b_2\ldots b_k, $ son incompatibles si existe un $ i\in\{1,2,\ldots ,k\} $ tal que $ a_i\neq b_i. $ Además, para dos números naturales $ r\le n, l, $ decimos que $ s $ es $ r,l $ -tipado si hay, a lo sumo, $ l $ $ n,s,r\text{-bloques} $ por pares incompatibles. Sea una cadena $ 3,7\text{-tipada} $ $ t $ que consta de $ 10000 $ dígitos binarios. Determine el número máximo $ M $ que satisface la condición de que $ t $ es $ 10,M\text{-tipado} . $

Determine todas las funciones $f$ desde el conjunto de enteros no negativos a sí mismo tales que $f(a + b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d)$ , siempre que $a, b, c, d$ , sean enteros no negativos que satisfacen $2ab = c^2 + d^2$ .

Sea $ A_1A_2A_3$ un triángulo no isósceles con incentro $ I.$ Sea $ C_i,$ $ i = 1, 2, 3,$ el círculo más pequeño que pasa por $ I$ tangente a $ A_iA_{i+1}$ y $ A_iA_{i+2}$ (la suma de índices es módulo 3). Sea $ B_i, i = 1, 2, 3,$ el segundo punto de intersección de $ C_{i+1}$ y $ C_{i+2}.$ Demuestre que los circuncentros de los triángulos $ A_1 B_1I,A_2B_2I,A_3B_3I$ son colineales.

Demuestre que existe un entero $n$ , $n\geq 2002$ , y $n$ enteros positivos distintos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que el número $N= a_1^2a_2^2\cdots a_n^2 - 4(a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2) $ es un cuadrado perfecto.

Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?

Sean $AD, BE$ , y $CF$ las alturas del triángulo $\vartriangle ABC$ . Los puntos $E'$ y $F'$ son las reflexiones de $E$ y $F$ sobre $AD$ , respectivamente. Las líneas $BF'$ y $CE'$ se intersecan en $X$ , mientras que las líneas $BE'$ y $CF'$ se intersecan en el punto $Y$ . Pruebe que si $H$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$ , entonces las líneas $AX, YH$ , y $BC$ son concurrentes.

Determine el número natural más grande $ N $ que tiene la siguiente propiedad: cada matriz de $ 5\times 5 $ que consta de números naturales distintos por pares del $ 1 $ al $ 25 $ contiene una submatriz de $ 2\times 2 $ de números cuya suma es, al menos, $ N. $

Sea un número natural $ n\ge 3. $ Encuentre $$ \inf_{\stackrel{ x_1,x_2,\ldots ,x_n\in\mathbb{R}_{>0}}{1=P\left( x_1,x_2,\ldots ,x_n\right)}}\sum_{i=1}^n\left( \frac{1}{x_i} -x_i \right) , $$ donde $ P\left( x_1,x_2,\ldots ,x_n\right) :=\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i+n-1} , $ y encuentre en qué circunstancias se alcanza este ínfimo.