2 Sea $A$ un conjunto finito de pares de números reales tal que para cualquier par $(a,b)$ en $A$ se tiene $a>0$ . Sea $X_0=(x_0, y_0)$ un par de números reales (no necesariamente de $A$ ) . Definimos $X_{j+1}=(x_{j+1}, y_{j+1})$ para todo $j\ge 0$ como sigue: para todo $(a,b)\in A$ , si $ax_j+by_j>0$ ponemos $X_{j+1}=X_j$ ; en caso contrario elegimos un par $(a,b)$ en $A$ para el cual $ax_j+by_j\le 0$ y ponemos $X_{j+1}=(x_j+a, y_j+b)$ . Demuestre que existe un entero $N\ge 0$ tal que $X_{N+1}=X_N$ .

3 Sea $n > 1$ un entero dado. Demuestre que infinitos términos de la sucesión $(a_k )_{k\ge 1}$ , definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,\] son impares. (Para un número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . ) Propuesto por Hong Kong

1 Sea $p$ un primo impar y $r$ un número natural impar. Demuestre que $pr+1$ no divide a $p^p-1$

2 Sean $a,b$ números reales positivos. Demuestre que $(1+a)^{8}+(1+b)^{8}\geq 128ab(a+b)^{2}$ .

3 En un triángulo $ABC$ , los puntos $X$ y $Y$ están sobre $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $CX=CY$ , $AX$ no es perpendicular a $BC$ y $BY$ no es perpendicular a $CA$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia con centro $C$ y radio $CX$ . Halle los ángulos del triángulo $ABC$ sabiendo que los ortocentros de los triángulos $AXB$ y $AYB$ se encuentran sobre $\Gamma$ .

1 Sean $x$ y $y$ números racionales tales que $x^{5}+y^{5}=2x^{2}y^{2}$ . Demuestre que $1-xy$ es el cuadrado de un número racional.

2 Sea $n$ un número natural. Una triangulación de un n-ágono convexo es una división del polígono en $n-2$ triángulos trazando $n-3$ diagonales de las cuales no hay dos que se intersequen en un punto interior del polígono. Sea $f(n)$ el número de triangulaciones de un n-ágono regular tales que cada uno de los triángulos formados es isósceles. Determine $f(n)$ en términos de $n$ .

3 Para enteros $a,b$ definimos $f((a,b))=(2a,b-a)$ si $a<b$ y $f((a,b))=(a-b,2b)$ si $a\geq b$ . Dado un número natural $n>1$ , demuestre que existen números naturales $m,k$ con $m<n$ tales que $f^{k}((n,m))=(m,n)$ , donde $f^{k}(x)=f(f(f(...f(x))))$ , estando $f$ compuesta consigo misma $k$ veces.

2 Sea $n$ un entero positivo. Halle el menor entero $k$ con la siguiente propiedad: dados cualesquiera números reales $a_1 , \cdots , a_d $ tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$ y $0 \le a_i \le 1$ para $i=1,2,\cdots ,d$ , es posible particionar estos números en $k$ grupos (algunos de los cuales pueden estar vacíos) de modo que la suma de los números de cada grupo sea a lo sumo $1$ .

3 Partiendo de la terna $(1007\sqrt{2},2014\sqrt{2},1007\sqrt{14})$ , defínase una sucesión de ternas $(x_{n},y_{n},z_{n})$ mediante $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(y_{n}+z_{n}-x_{n})}$ $y_{n+1}=\sqrt{y_{n}(z_{n}+x_{n}-y_{n})}$ $ z_{n+1}=\sqrt{z_{n}(x_{n}+y_{n}-z_{n})}$ para $n\geq 0$ . Demuestre que cada una de las sucesiones $\langle x_n\rangle _{n\geq 0},\langle y_n\rangle_{n\geq 0},\langle z_n\rangle_{n\geq 0}$ converge a un límite y halle estos límites.