1 En el triángulo $\vartriangle ABC$ se tiene $| AB |^3 = | AC |^3 + | BC |^3$ . Demuestre que $\angle C> 60^o$ .

2 Demuestre que para todo ángulo agudo $\alpha$ , $\sin (\cos \alpha) < \cos(\sin \alpha)$ .

3 Denote por $f(n)$ el mayor divisor impar de $n \in N_0$ . (a) Determine $f (n + 1) + f (n + 2) + ... + f(2n)$ . (b) Determine $f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(2n)$ .

4 Determine todos los números de tres cifras N tales que $N^2$ tenga seis cifras y tales que la suma del número formado por las tres primeras cifras de $N^2$ y el número formado por las tres últimas cifras de $N^2$ sea igual a $N$ .

1 Sobre la parábola $y = x^2$ se encuentran tres puntos diferentes $P, Q$ y $R$ . Sus proyecciones $P', Q'$ y $R'$ sobre el eje $x$ son equidistantes e iguales a $s$ , es decir, $| P'Q'| = | Q'R'| = s$ . Determine el área de $\vartriangle PQR$ en términos de $s$

2 En el triángulo $\vartriangle ABC$ , $\angle A = 50^o, \angle B = 60^o$ y $\angle C = 70^o$ . El punto $P$ está sobre el lado $[AB]$ (con $P \ne A$ y $P \ne B$ ) . El círculo inscrito de $\vartriangle ABC$ interseca al círculo inscrito de $\vartriangle ACP$ en los puntos $U$ y $V$ e interseca al círculo inscrito de $\vartriangle BCP$ en los puntos $X$ y $Y$ . Las rectas $UV$ y $XY$ se intersecan en $K$ . Calcule el $\angle UKX$ .

3 En un vecindario rectangular cerrado hay: $S$ calles (que son caminos rectos de longitud máxima), $V$ intersecciones de cuatro brazos ( https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/4/6a5974a30dc182b59a519a8ef4eb4f1412e05e.png ), $H$ manzanas (que son áreas rectangulares delimitadas por cuatro calles y que no son intersecadas por otra calle) y $T$ representa el número de intersecciones en $T$ ( https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/a/b390a30a0b27d83db681f70f633bdeed697163.png ). Por ejemplo, en el vecindario siguiente hay $15$ calles, $8$ intersecciones de cuatro brazos, $20$ manzanas y $22$ intersecciones en $T$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/2/c1a5e463d0fb5671ac0702c91cfc2272d4e2c3.png Demuestre que en cada distrito $S + V = H + 3$ .

4 Para todo número natural $n$ definimos el número derivado $n'$ como sigue: $\bullet$ $0' = 1' = 0$ $\bullet$ si $n$ es primo, entonces $n' = 1$ $\bullet$ si $n = a \cdot b$ , entonces $n' = a' b + a b'$ . Por ejemplo: $15' = 3' 5 + 3 5' = 1\cdot 5 + 3\cdot 1 = 8$ . Determine todos los números naturales $n$ para los cuales $n = n'$ .

1 En el cuadrilátero $ABCD$ se tiene $AD \parallel BC$ y los ángulos $\angle A$ y $\angle D$ son agudos. Las diagonales se intersecan en $P$ . Las circunferencias circunscritas de $\vartriangle ABP$ y $\vartriangle CDP$ intersecan a la recta $AD$ nuevamente en $S$ y $T$ respectivamente. Llámese $M$ al punto medio de $[ST]$ . Demuestre que $\vartriangle BCM$ es isósceles. https://1.bp.blogspot.com/-C5MqC0RTqwY/Xy1fAavi_aI/AAAAAAAAMSM/2MXMlwb13McCYTrOHm1ZzWc0nkaR1J6zQCLcBGAsYHQ/s0/flanders%2B2016%2Bp1.png

2 Determine el menor número natural $n$ tal que $n^n$ no sea divisor del producto $1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot 2015\cdot 2016$ .