Sea $ n \geq 3$ un entero impar. Determine el valor máximo de \[ \sqrt{|x_{1}-x_{2}|}+\sqrt{|x_{2}-x_{3}|}+\ldots+\sqrt{|x_{n-1}-x_{n}|}+\sqrt{|x_{n}-x_{1}|},\] donde $ x_{i}$ son números reales positivos del intervalo $ [0,1]$ .

Encuentra el máximo común divisor de los números \[ 2^{561}-2, 3^{561}-3, \ldots, 561^{561}-561.\]

Demuestra que existe un conjunto $ S$ de $ n - 2$ puntos dentro de un polígono convexo $ P$ con $ n$ lados, tal que cualquier triángulo determinado por $3$ vértices de $ P$ contiene exactamente un punto de $ S$ dentro o en las fronteras.

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con todos los lados de longitud 1. Demuestra que uno de los radios de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ ACE$ o $ BDF$ es al menos 1.

Sean $ a_i, b_i$ números reales positivos, $ i=1,2,\ldots,n$ , $ n\geq 2$ , tales que $ a_i<b_i$ , para todo $ i$ , y también \[ b_1+b_2+\cdots + b_n < 1 + a_1+\cdots + a_n.\] Demuestra que existe un $ c\in\mathbb R$ tal que para todo $ i=1,2,\ldots,n$ , y $ k\in\mathbb Z$ tenemos \[ (a_i+c+k)(b_i+c+k) > 0.\]

Sea $ n$ un entero, $ n\geq 2$ . Encuentra todos los conjuntos $ A$ con $ n$ elementos enteros tales que la suma de cualquier subconjunto no vacío de $ A$ no es divisible por $ n+1$ .

Dado un entero $n\geq 2,$ coloree de rojo exactamente $n$ celdas de una hoja infinita de papel cuadriculado. Una matriz de cuadrícula rectangular se llama especial si contiene al menos dos celdas rojas en las esquinas opuestas; las celdas rojas individuales y las matrices de cuadrícula de 1 fila o 1 columna cuyas celdas finales son ambas rojas son especiales. Dada una configuración de exactamente $n$ celdas rojas, sea $N$ el número más grande de celdas rojas que puede contener una matriz de cuadrícula rectangular especial. Determine el valor mínimo que puede tomar $N$ sobre todas las configuraciones posibles de exactamente $n$ celdas rojas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<BC$ . Sea $I$ el incentro de $ABC$ , y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente al lado $BC$ en $K$ . La línea $AK$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $T$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ , y sea $N$ el punto medio del arco $BAC$ de $\omega$ . El segmento $NT$ interseca la circunferencia circunscrita de $BIC$ en $P$ . Demuestre que $PM\parallel AK$ .

Determine el valor más grande que puede alcanzar la expresión $$ \sum_{1\le i<j\le 4} \left( x_i+x_j \right)\sqrt{x_ix_j} $$ , cuando $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ recorren los números reales no negativos, y suman $ 1. $ Encuentre también los valores específicos de estos números que hacen que la suma anterior alcance el máximo solicitado.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Para empezar, Alice organiza los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra se puede colocar en el número $k$ a lo sumo $k$ veces. Los dos jugadores se turnan comenzando con Alice. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$ , determine quién tiene una estrategia ganadora.