4 Sean $x; y$ y $z$ números reales positivos tales que $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}= 1$ . Demuestra que $\frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}\geq 1.$ N.T.TUAN

2 Sea $ r$ un número real tal que la sucesión $ (a_{n})_{n\geq 1}$ de números reales positivos satisface la ecuación $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{m + 1} \leq r a_{m}$ para cada entero positivo $ m$ . Demuestra que $ r \geq 4$ .

Sea el círculo \( (I; r) \) inscrito en el triángulo \( ABC \). Sea \( D \) el punto de contacto de este círculo con \( BC \). Sean \( E \) y \( F \) los puntos medios de \( BC \) y \( AD \), respectivamente. Demuestra que los tres puntos \( I \), \( E \), \( F \) son colineales.

1 ¿Cuántos números de siete dígitos son múltiplos de $388$ y terminan en $388$?

2 Sea \(ABCD\) un cuadrado de lado \(k\). Los puntos \(P\) y \(Q\) están sobre los lados \(BC\) y \(DC\), respectivamente, tales que \(PC = 3\,PB\) y \(QD = 2\,QC\). Sea \(M\) el punto de intersección de las rectas \(AQ\) y \(PD\). Determina el área del triángulo \(QMD\) en términos de \(k\).

Hay 10000 baldosas iguales en forma de triángulo equilátero. Con estos triángulos pequeños se forman hexágonos regulares, sin superposiciones ni huecos. Si se forma el hexágono regular que desperdicia la menor cantidad de triángulos, ¿cuántos triángulos sobran?

1 Demuestra que la ecuación $ x^{5} + 31 = y^{2}$ no tiene solución entera.

Para los números reales positivos $ a,b,c,d$ demuestra que \[ \frac c{a + 2b} + \frac d{b + 2c} + \frac a{c + 2d} + \frac b{d + 2a} \geq \frac 43.\]

1 En un tablero cuadrado con $9$ casillas (tres por tres), deben colocarse nueve elementos del conjunto $S=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, distintos entre sí, de modo que cada uno quede en una casilla y se cumplan las siguientes condiciones: $\bullet$ Las sumas de los números de la segunda y tercera filas son, respectivamente, el doble y el triple de la suma de los números de la primera fila. $\bullet$ La suma de los números de la segunda y tercera columnas son, respectivamente, el doble y el triple de la suma de los números de la primera columna. Muestra todas las formas posibles de colocar elementos de $S$ en el tablero, cumpliendo las condiciones indicadas.

2 En el rectángulo $ABCD$, $M, N, P$ y $Q$ son los puntos medios de los lados. Si el área del triángulo sombreado es $1$, calcula el área del rectángulo $ABCD$.