Sea $ n \geq 3$ un entero positivo y sea $ m \geq 2^{n-1}+1$ . Demuestra que para cada familia de subconjuntos distintos no nulos $ (A_j)_{j \in \overline{1, m}}$ de $ \{1, 2, ..., n\}$ existen $ i$ , $ j$ , $ k$ tales que $ A_i \cup A_j = A_k$ .

Sean $ m, n \geq 1$ dos enteros coprimos y sea también $ s$ un entero arbitrario. Determina el número de subconjuntos $ A$ de $ \{1, 2, ..., m + n - 1\}$ tales que $ |A| = m$ y $ \sum_{x \in A} x \equiv s \pmod{n}$ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $ O \in AC \cap BD$ , $ P \in AB \cap CD$ , $ Q \in BC \cap DA$ . Si $ R$ es la proyección ortogonal de $ O$ en la línea $ PQ$ demuestra que las proyecciones ortogonales de $ R$ en las líneas laterales de $ ABCD$ son concíclicas.

Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Un conjunto de personas se llama un conjunto $ n$ - balanceado si en cualquier subconjunto de $ 3$ personas existen al menos dos que se conocen entre sí y en cada subconjunto de $ n$ personas hay dos que no se conocen entre sí. Demuestra que un conjunto $ n$ - balanceado tiene como máximo $ (n - 1)(n + 2)/2$ personas.

Sean $ m,\ n \geq 3$ enteros impares positivos. Demuestra que $ 2^{m}-1$ no divide a $ 3^{n}-1$ .

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $ H$ y sea $ X$ un punto arbitrario en su plano. El círculo con diámetro $ HX$ interseca las líneas $ AH$ y $ AX$ en $ A_{1}$ y $ A_{2}$ , respectivamente. Similarmente, define $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , $ C_{1}$ , $ C_{2}$ . Demuestra que las líneas $ A_{1}A_{2}$ , $ B_{1}B_{2}$ , $ C_{1}C_{2}$ son concurrentes.

Sea $ ABC$ un triángulo con $ \measuredangle{BAC} < \measuredangle{ACB}$ . Sean $ D$ , $ E$ puntos en los lados $ AC$ y $ AB$ , tales que los ángulos $ ACB$ y $ BED$ son congruentes. Si $ F$ se encuentra en el interior del cuadrilátero $ BCDE$ tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $ BCF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ DEF$ y la circunferencia circunscrita de $ BEF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ CDF$ , demuestre que los puntos $ A$ , $ C$ , $ E$ , $ F$ son concíclicos.

Sea $ G$ un grafo conectado con $ n$ vértices y $ m$ aristas tal que cada arista está contenida en al menos un triángulo. Encuentra el valor mínimo de $ m$ .

Demuestra que cada pentágono convexo tiene un vértice desde el cual la distancia al lado opuesto del pentágono es estrictamente menor que la suma de las distancias desde los dos vértices adyacentes al mismo lado. Nota . Si el pentágono está etiquetado como $ ABCDE$ , los vértices adyacentes de $ A$ son $ B$ y $ E$ , los de $ B$ son $ A$ y $ C$ etc.

¿Existen secuencias de enteros positivos $ 1 \leq a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots$ tales que para cada entero $ n$ , el conjunto $ \left\{a_{k} + n\ |\ k = 1, 2, 3, \ldots\right\}$ contiene finitamente muchos números primos?