4 Para un entero positivo $n$ denotamos por $D_2(n)$ el número de divisores de $n$ que son cuadrados perfectos y por $D_3(n)$ el número de divisores de $n$ que son cubos perfectos. Demuestre que existe un entero positivo tal que $D_2(n)=999D_3(n).$ Nota. Los cuadrados perfectos son $1^2,2^2,3^2,4^2,…$ y los cubos perfectos son $1^3,2^3,3^3,4^3,…$ .

5 Diremos que una lista de enteros positivos es admisible si todos sus números son menores o iguales que $100$ y su suma es mayor que $1810$ . Halle el menor entero positivo $d$ tal que de cada lista admisible se puedan tachar algunos números de modo que la suma de los números no tachados sea mayor o igual que $1810-d$ y menor o igual que $1810+d$ .

6 Trazar todas las diagonales de un polígono convexo de $10$ lados. Estas dividen sus ángulos en $80$ partes. Se sabe que al menos $59$ de esas partes son iguales. Determine el mayor número de valores distintos entre los $ 80$ ángulos de división y cuántas veces aparece cada uno de esos valores.

1 Halle una progresión aritmética de $2016$ números naturales tal que ninguno de ellos sea una potencia perfecta pero su producto sea una potencia perfecta. Aclaración: Una potencia perfecta es un número de la forma $n^k$ donde $n$ y $k$ son ambos números naturales mayores o iguales que $2$ .

2 Para un entero $m\ge 3$ , sea $S(m)=1+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{m}$ (la fracción $\frac12$ no participa en la suma y sí participan las fracciones $\frac{1}{k}$ para los enteros desde $3$ hasta $m$ ) . Sean $n\ge 3$ y $ k\ge 3$ . Compare los números $S(nk)$ y $S(n)+S(k)$ .

3 Agustín y Lucas, por turnos, marcan cada vez una casilla que aún no haya sido marcada en un tablero de $101\times 101$ . Agustín comienza el juego. No se puede marcar una casilla que ya tenga dos casillas marcadas en su fila o en su columna. El que no pueda realizar su jugada pierde. Decida cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

4 Halle los ángulos de un cuadrilátero convexo $ABCD$ tales que $\angle ABD = 29^o$ , $\angle ADB = 41^o$ , $\angle ACB = 82^o$ y $\angle ACD = 58^o$

5 Sean $a$ y $b$ números racionales tales que $a+b=a^2+b^2$ . Suponga que el valor común $s=a+b=a^2+b^2$ no es un entero, y escribámoslo como una fracción irreducible: $s=\frac{m}{n}$ . Sea $p$ el menor divisor primo de $n$ . Halle el valor mínimo de $p$ .

6 Sea $AB$ un segmento de longitud $1$ . Varias partículas comienzan a moverse simultáneamente a velocidades constantes desde $A$ hacia $ B$ . En cuanto una partícula alcanza $B$ , da la vuelta y se dirige a $A$ ; cuando alcanza $A$ , comienza a moverse nuevamente hacia $ B$ , y así sucesivamente indefinidamente. Halle todos los números racionales $ r>1$ tales que existe un instante $t$ con la siguiente propiedad: Para cada $n\ge 1$ , si $n+1$ partículas con velocidades constantes $1,r,r^2,…,r^n$ se mueven como se describe, en el instante $t$ , todas se encuentran en el mismo punto interior del segmento $AB$ .

1 Exprese la suma de $99$ términos $$\frac{1\cdot 4}{2\cdot 5}+\frac{2\cdot 7}{5\cdot 8}+\ldots +\frac{k(3k+1 )}{(3k-1)(3k+2)}+\ldots +\frac{99\cdot 298}{296\cdot 299}$$ como una fracción irreducible.