Sean $a, b$ , y $c$ números reales positivos. Encontrar el entero más grande $n$ tal que $$\frac{1}{ax + b + c} \ +\frac{1}{a + bx + c}+\frac{1}{a + b + cx} \ge \frac{n}{a + b + c},$$ para todo $ x \in [0, 1]$ .

La pirámide $VABCD$ tiene como base el rectángulo ABCD, y las aristas laterales son congruentes. Demostrar que el plano $(VCD)$ forma ángulos congruentes con los planos $(VAC)$ y $(BAC)$ si y solo si $\angle VAC = \angle BAC $ .

Sean $a$ y $b$ números reales positivos distintos, tales que $a -\sqrt{ab}$ y $b -\sqrt{ab}$ son ambos números racionales. Demostrar que $a$ y $b$ son números racionales.

Considerar el cuadrado $ABCD$ y el punto $E$ en el lado $AB$ . La línea $DE$ interseca a la línea $BC$ en el punto $F$ , y la línea $CE$ interseca a la línea $AF$ en el punto $G$ . Demostrar que las líneas $BG$ y $DF$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Considerar los puntos $M, N \in (BC), Q \in (AB), P \in (AC)$ tales que $MNPQ$ es un rectángulo. Demostrar que si el centro del rectángulo $MNPQ$ coincide con el centro de gravedad del triángulo $ABC$ , entonces $AB = AC = 3AP$

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos tales que $$a^2+ab+ac-bc = 0.$$ a) Demostrar que si dos de los números $a, b$ y $c$ son iguales, entonces al menos uno de los números $a, b$ y $c$ es irracional. b) Demostrar que existen infinitos triples $(m, n, p)$ de enteros positivos tales que $$m^2 + mn + mp -np = 0.$$

Sean $a_1, a_2, ... , a_{2012}$ enteros positivos impares. Demostrar que el número $$A=\sqrt{a^2_1+ a^2_2+ ...+ a^2_{2012}-1}$$ es irracional.

Sea $ \mathcal{P}$ un cuadrado y sea $ n$ un entero positivo no nulo para el cual denotamos por $ f(n)$ el número máximo de elementos de una partición de $ \mathcal{P}$ en rectángulos tal que cada línea que es paralela a algún lado de $ \mathcal{P}$ interseca a lo sumo $ n$ interiores (de rectángulos). Demuestra que \[ 3 \cdot 2^{n-1} - 2 \le f(n) \le 3^n - 2.\]

Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ \mathcal{M}_{a}$ , $ \mathcal{M}_{b}$ , $ \mathcal{M}_{c}$ los círculos que tienen como diámetros las medianas $ m_{a}$ , $ m_{b}$ , $ m_{c}$ del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Si dos de estos tres círculos son tangentes a la circunferencia inscrita de $ ABC$ , demuestre que el tercero también es tangente.

Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Encuentra $ n$ tal que exista una permutación $ \sigma \in S_{n}$ tal que \[ \left| \{ |\sigma(k) - k| \ : \ k \in \overline{1, n} \}\right | = n.\]