2 Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Pablo tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ formada por $n^2$ cuadrados unitarios, donde el cuadrado $i^{\text{th}}$ está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varios trozos, donde cada trozo consta de un número de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) los trozos para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario de la fila $i^{\text{th}}$ y la columna $j^{\text{th}}$ está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el menor número de trozos que Pablo necesita hacer para lograrlo.

1 Sea $k\ge2$ un entero. Halle el menor entero $n \ge k+1$ con la propiedad de que exista un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos se pueda escribir como suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

A4 Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Halle el mayor valor posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

1 Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC,$ sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC,$ y sea $r$ su radio. Se elige un punto $P$ sobre $\overline{AC}$ tal que $BC=CP,$ y el punto $S$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $\overline{AB}$ . La semirrecta $BP$ vuelve a cortar a $\omega$ en $D$ . Se elige un punto $Q$ sobre la recta $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ están sobre una recta en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$ . Demuestre que $E$ está sobre $\omega$ .

1 Si $(x^2-x-1)^n=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$ , donde $a_i,i\in\{0,1,2,..,2n\}$ , halle $a_1+a_3+...+a_{2n-1}$ y $a_0+a_2+a_4+...+a_{2n}$ .

Sean $a, b, m, n$ enteros positivos tales que $gcd(a, b) = 1$ y $a > 1$ . Demuestre que si $$a^m+b^m \mid a^n+b^n$$ entonces $m \mid n$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. Empezamos con $n$ montones de guijarros, cada uno con un único guijarro inicialmente. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elegir dos montones, tomar el mismo número de guijarros de cada montón y formar un nuevo montón con esos guijarros. Halle (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se puede obtener realizando una sucesión finita de movimientos de esta forma.

3 Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ enteros positivos tales que $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ es una permutación de $1,2,\dots,2023$ , y $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ es una permutación de $1,2,\dots,2022$ . Demuestre que $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

7 Sean $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ con $a^2+b^2+c^2=48$ . Demuestre que \[a^2\sqrt{2b^3+16}+b^2\sqrt{2c^3+16}+c^2\sqrt{2a^3+16}\le24^2\]

3 Sea $N$ un entero positivo y considere una cuadrícula de $N \times N$ . Un camino derecha-abajo es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior de la sucesión. Un camino derecha-arriba es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda encima de la celda anterior de la sucesión. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no pueden particionarse en menos de $N$ caminos derecha-abajo o derecha-arriba. Por ejemplo, la siguiente partición de la cuadrícula de $5 \times 5$ usa $5$ caminos. [asy] size(4cm); draw((5,-1)--(0,-1)--(0,-2)--(5,-2)--(5,-3)--(0,-3)--(0,-4)--(5,-4),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((1,-5)--(1,0)--(2,0)--(2,-5)--(3,-5)--(3,0)--(4,0)--(4,-5),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((0,0)--(5,0)--(5,-5)--(0,-5)--cycle,black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((0,-1)--(3,-1)--(3,-2)--(1,-2)--(1,-4)--(4,-4)--(4,-3)--(2,-3)--(2,-2),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((3,0)--(3,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((1,-4)--(1,-5),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((4,-3)--(4,-1)--(5,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); [/asy] Propuesto por Zixiang Zhou, Canadá