5 Sobre el círculo se marcan 99 puntos, que dividen a este círculo en 99 arcos iguales. Petya y Vasya juegan el juego, por turnos. Petya juega primero; en su primer movimiento pinta de rojo o azul cualquier punto marcado. Luego cada jugador puede pintar en su turno, de rojo o azul, cualquier punto marcado sin colorear adyacente al ya pintado. Vasya gana si, después de pintar todos los puntos, hay un triángulo equilátero cuyos tres vértices están coloreados del mismo color. ¿Puede Petya impedírselo?

6 $a$ y $b$ son enteros positivos dados. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^b+1$ no divide a $a^n+1$ .

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , respectivamente; sea $AD$ una altura de este triángulo. Se elige un punto $K$ sobre el segmento $MN$ de modo que $BK=CK$ . La semirrecta $KD$ corta al circuncírculo $\Omega$ de $ABC$ en $Q$ . Demuestre que $C, N, K, Q$ son concíclicos.

3 Se da un entero positivo $k$ . Inicialmente, $N$ casillas están marcadas en un plano cuadriculado infinito. Decimos que la cruz de una casilla $A$ es el conjunto de todas las casillas que están en la misma fila o en la misma columna que $A$ . En un turno, está permitido marcar una casilla no marcada $A$ si la cruz de $A$ contiene al menos $k$ casillas marcadas. Resulta que toda casilla puede marcarse en una sucesión de tales turnos. Determine el menor valor posible de $N$ .

4 Inicialmente, un entero positivo está escrito en el pizarrón. Cada segundo, se suma al número del pizarrón el producto de todos sus dígitos no nulos, se escribe el resultado en el pizarrón y se borra el número anterior. Demuestre que existe un entero positivo que será sumado infinitas veces.

5 En una tabla $10\times 10$ están escritos números positivos. Se sabe que, mirando de izquierda a derecha, los números de cada fila forman una progresión aritmética y, mirando de arriba hacia abajo, los números de cada columna forman una progresión geométrica. Demuestre que todas las razones de las progresiones geométricas son iguales.

6 Igual que el de Grado 9

7 Igual que el de Grado 9

8 El tablero usado para jugar un juego consta de una parte izquierda y una parte derecha. En cada parte hay varias casillas y hay varios segmentos que conectan dos casillas de partes distintas (todas las casillas están conectadas). Inicialmente, hay una ficha violeta en una casilla de la parte izquierda y una ficha púrpura en una casilla de la parte derecha. Lyosha y Pasha juegan por turnos, empezando por Pasha, moviendo su ficha (Lyosha la violeta y Pasha la púrpura) a lo largo de un segmento hasta otra casilla que no tenga ficha. Está prohibido repetir una posición dos veces, es decir, no se puede mover a una posición que ya haya estado ocupada en turnos anteriores del juego. Un jugador pierde si no puede hacer un movimiento. ¿Existe un tablero y unas posiciones iniciales de las fichas para las cuales Pasha tenga una estrategia ganadora? ThE-dArK-lOrD

1 El polinomio $P (x)$ es tal que los polinomios $P (P (x))$ y $P (P (P (x)))$ son estrictamente monótonos en todo el eje real. Demuestre que $P (x)$ es también estrictamente monótono en todo el eje real.