Determinar todos los enteros positivos $a,b,c,d,e,f$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera dos de ellos, $x$ e $y,$ dos de los números restantes, $z$ y $t,$ satisfacen $x/y=z/t.$

Sea $M$ el punto medio del lado $AD$ del cuadrado $ABCD.$ Considerar los triángulos equiláteros $DFM$ y $BFE$ tales que $F$ está en el interior de $ABCD$ y las líneas $EF$ y $BC$ son concurrentes. Denotar por $P$ el punto medio de $ME.$ Probar que: El punto $P$ está en la línea $AC.$ La semirrecta $PM$ es la bisectriz del ángulo $APF.$

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $(7^a-5^b)/8$ es un número primo.

Sea $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $f(0)=f(1)=0$ y $|f'(x)|\le 1,\ \forall x\in [0,1]$ . Demostrar que: $$\left|\int_0 ^1f(t)dt\right|<\frac{1}{4}$$

Sea $G$ un grupo de $n$ elementos. Encontrar todas las funciones $f:G\rightarrow \mathbb{N}^*$ tales que: (a) $f(x)=1$ si y solo si $x$ es la identidad de $G$ ; (b) $f(x^k)=\frac{f(x)}{(f(x),k)}$ para cualquier divisor $k$ de $n$ , donde $(r,s)$ representa el máximo común divisor de los enteros positivos $r$ y $s$ .

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo de 9 elementos. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) Para cualquier $x\in A\setminus\{0\}$ existen dos números $a\in \{-1,0,1\}$ y $b\in \{-1,1\}$ tales que $x^2+ax+b=0$ . (b) $(A,+,\cdot)$ es un campo.

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos distintos. Evaluar: $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t \frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx$$

Una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad $ \mathcal{F} , $ si para cualquier número real $ a, $ existe un $ b<a $ tal que $ f(x)\le f(a), $ para todo $ x\in (b,a) . $ a) Dar un ejemplo de una función con la propiedad $ \mathcal{F} $ que no es monótona en $ \mathbb{R} . $ b) Demostrar que una función continua que tiene la propiedad $ \mathcal{F} $ es no decreciente.

Sea un número natural $ n, $ y dos matrices $ A,B\in\mathcal{M}_n\left(\mathbb{C}\right) $ con la propiedad de que $$ AB^2=A-B. $$ a) Mostrar que la matriz $ I_n+B $ es inversible. b) Mostrar que $ AB=BA. $

Sean $ A,B\in\mathcal{M} \left( \mathbb{R} \right) $ que satisfacen $ AB=O_3. $ Demostrar que: a) La función $ f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} $ definida como $ f(x)=\det \left( A^2+B^2+xBA \right) $ es un polinomio, de grado a lo sumo $ 2. $ b) $ \det\left( A^2+B^2 \right)\ge 0. $