5 Determine todas las ternas de números reales $ x,y,z$ que satisfacen \[1+x^4\leq 2(y-z)^2,\quad 1+y^4\leq 2(x-z)^2,\quad 1+z^4\leq 2(x-y)^2.\]

6 En un triángulo escaleno $ ABC$ , las alturas $ AA_{1}$ y $ CC_{1}$ se intersecan en $ H, O$ es el circuncentro y $ B_{0}$ el punto medio del lado $ AC$ . La recta $ BO$ interseca al lado $ AC$ en $ P$ , mientras que las rectas $ BH$ y $ A_{1}C_{1}$ se cortan en $ Q$ . Demuestre que las rectas $ HB_{0}$ y $ PQ$ son paralelas. Fang-jh

7 ¿Para qué enteros $ n>1$ existen números naturales $ b_1,b_2,\ldots,b_n$ no todos iguales tales que el número $ (b_1+k)(b_2+k)\cdots(b_n+k)$ es una potencia de un entero para cada número natural $ k$ ? (Los exponentes pueden depender de $ k$ , pero deben ser mayores que $ 1$ )

8 En el plano cartesiano se dibujan varios rectángulos con los lados paralelos a los ejes de coordenadas. Suponga que cualesquiera dos rectángulos pueden ser cortados por una recta vertical o por una recta horizontal. Demuestre que es posible trazar una recta horizontal y una vertical tales que cada rectángulo sea cortado por al menos una de estas dos rectas.

1 Los números $ a,b,c$ son tales que la ecuación $ x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene tres raíces reales. Demuestre que si $ - 2\leq a + b + c\leq 0$ , entonces al menos una de estas raíces pertenece al segmento $ [0,2]$

2 A Petya y a Vasya se les dan conjuntos iguales de $ N$ pesas, en los cuales las masas de cualesquiera dos pesas están en una razón de a lo sumo $ 1.25$ . Petya logró dividir su conjunto en $ 10$ grupos de masas iguales, mientras que Vasya logró dividir su conjunto en $ 11$ grupos de masas iguales. Halle el menor $ N$ posible. Fang-jh

3 Dado un conjunto finito $ P$ de números primos, demuestre que existe un entero positivo $ x$ tal que puede escribirse en la forma $ a^p + b^p$ ( $ a,b$ son enteros positivos), para cada $ p\in P$ , y no puede escribirse de esa forma para cada $ p$ que no esté en $ P$ .

4 Cada cara de un tetraedro puede colocarse en una circunferencia de radio $ 1$ . Demuestre que el tetraedro puede colocarse en una esfera de radio $ \frac{3}{2\sqrt2}$ . Fang-jh

5 Los números de $ 51$ a $ 150$ se colocan en un arreglo de $ 10\times 10$ . ¿Puede hacerse de tal manera que, para cualesquiera dos números adyacentes horizontal o verticalmente $ a$ y $ b$ , al menos una de las ecuaciones $ x^2 - ax + b = 0$ y $ x^2 - bx + a = 0$ tenga dos raíces enteras? Fang-jh

3 En el triángulo \(ABC\) se da un punto \(P\) tal que \(\angle ACP = \angle ABP = 10^{\circ}\), \(\angle CAP = 20^{\circ}\) y \(\angle BAP = 30^{\circ}\). Demuestra que \(AC=BC\).