Sea $n\geqslant 3$ un entero positivo y $N=\{1,2,\ldots,n\}$ y sea $k>0$ un número real. Asociemos cada subconjunto no vacío de $N$ con un punto en el plano, de modo que dos subconjuntos distintos correspondan a puntos diferentes. Si el valor absoluto de la diferencia entre las medias aritméticas de los elementos de dos subconjuntos no vacíos distintos de $N$ es a lo sumo $k$ conectamos los puntos asociados con estos subconjuntos con un segmento. Determinar el valor mínimo de $k$ tal que los puntos asociados con dos subconjuntos no vacíos distintos cualesquiera de $N$ estén conectados por un segmento o una línea quebrada.

Sea $\sigma(\cdot)$ denota la función suma de divisores y $d(\cdot)$ denota la función de conteo de divisores. Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $\sigma(d(n))=n.$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita. La línea tangente a $\omega$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $D$ y sea $E$ un punto en $\omega$ tal que $BE$ es paralelo a $AD$ . $DE$ interseca el segmento $AB$ y $\omega$ en $F$ y $G$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $BGF$ interseca $BE$ en $N$ . La línea $NF$ interseca las líneas $AD$ y $EA$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Probar que $DGST$ es cíclico.

Para números reales positivos $x,y,z$ con $xy+yz+zx=1$ , probar que $$\frac{2}{xyz}+9xyz \geq 7(x+y+z)$$

Sea $n\geqslant 2$ un entero. Un tablero de dardos galés es un disco dividido en $2n$ sectores iguales, la mitad de ellos son rojos y la otra mitad son blancos. Dos tableros de dardos galeses se emparejan si tienen el mismo radio y se superponen de modo que cada sector del primer tablero quede exactamente sobre un sector del segundo tablero. Suponga que dos tableros de dardos galeses dados pueden emparejarse de modo que más de la mitad de los pares de sectores superpuestos tengan colores diferentes. Probar que estos tableros de dardos galeses pueden emparejarse de modo que al menos $2\lfloor n/2\rfloor +2$ pares de sectores superpuestos tengan el mismo color.

En el exterior del triángulo acutángulo $ABC$ construimos los triángulos isósceles $DAB$ y $EAC$ con bases $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $\angle DBC=\angle ECB=90^\circ.$ Sean $M$ y $N$ las reflexiones de $A$ con respecto a $D$ y $E$ respectivamente. Probar que la línea $MN$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC.$

Para cualquier entero positivo $n$ definir $a_n=\{n/s(n)\}$ donde $s(\cdot)$ denota la suma de los dígitos y $\{\cdot\}$ denota la parte fraccionaria. Probar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $a_n=1/2.$ Determinar el entero positivo más pequeño $n$ tal que $a_n=1/6.$

Los enteros del 1 al 49 están escritos en una tabla de $7\times 7$, tal que para cualquier $k\in\{1,2,\ldots,7\}$ el producto de los números en la $k$ - ésima fila es igual al producto de los números en la $(8-k)$ - ésima fila. Probar que existe una fila tal que la suma de los números escritos en ella es un número primo. Dar un ejemplo de tal tabla.

Un triángulo de tipo $n$ donde $n\geqslant 2$ está formado por las celdas de un tablero de $(2n+1)\times(2n+1)$, situado bajo ambas diagonales principales. Por ejemplo, un triángulo de tipo $3$ se ve así: https://i.ibb.co/k4fmwWY/Screenshot-2024-07-31-153932.png Determinar la longitud máxima de una secuencia con celdas distintas por parejas en un triángulo de tipo $n$, tal que, comenzando con la segunda, cualquier celda de la secuencia tiene un lado en común con la anterior.

Sea $ABC$ un triángulo. Un círculo arbitrario que pasa por los puntos $B,C$ interseca los lados $AC,AB$ por segunda vez en $D,E$ respectivamente. La línea $BD$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $AEC$ en $P$ y $Q$ y la línea $CE$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ en $R$ y $S$ tal que $P$ está situado en el segmento $BD$ y $R$ está en el segmento $CE.$ Probar que: Los puntos $P,Q,R$ y $S$ son concíclicos. El triángulo $APQ$ es isósceles.