4 Definimos la sucesión $x_n$ de modo que \[x_1=a, x_2=b, x_n=\frac{{x_{n-1}}^2+{x_{n-2}}^2}{x_{n-1}+x_{n-2}} \quad \forall n \geq 3.\] Donde $a,b >1$ son números primos relativos. Muestre que $x_n$ no es un entero para $n \geq 3$ .

3 Se da un triángulo $ABC$ con su baricentro $G$ y su circuncentro $O$ tal que $GO$ es perpendicular a $AG$ . Sea $A'$ la segunda intersección de $AG$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Sea $D$ la intersección de las rectas $CA'$ y $AB$ y $E$ la intersección de las rectas $BA'$ y $AC$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $ADE$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

1 Definimos una sucesión $a_n$ de modo que $a_0=1$ y \[a_{n+1} = \begin{cases} \displaystyle \frac{a_n}2 & \textrm { if } a_n \equiv 0 \pmod 2, \\ a_n + d & \textrm{ otherwise. } \end{cases} \] para todos los enteros positivos $n$ . Halle todos los enteros positivos $d$ tales que existe algún entero positivo $i$ para el cual $a_i=1$ .

Sea $p > 10^9$ un número primo tal que $4p + 1$ también es primo. Demuestre que la expansión decimal de $\frac{1}{4p+1}$ contiene todos los dígitos $0,1, \ldots, 9$ .

1 Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a+b+c=3$ . Demuestre la desigualdad \[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq \frac{3}{2}.\]

2 En una fiesta había un número finito de personas, algunas de las cuales eran amigas entre sí. Entre cualesquiera $4$ de ellas había o bien $3$ que eran todas amigas entre sí o bien $3$ que no eran amigas entre sí. Demuestre que se puede separar a todas las personas de la fiesta en dos grupos de tal manera que en el primer grupo todos sean amigos entre sí y que todas las personas del segundo grupo no sean amigas de nadie más del segundo grupo. (La amistad es una relación mutua).

4 Halle todos los pares de enteros $x,y$ para los cuales \[x^3+x^2+x=y^2+y.\]

2 Hay lámparas en cada casilla de una tabla de $n\times n$ . Al inicio todas las lámparas están apagadas. Un movimiento consiste en elegir $m$ casillas consecutivas en una fila o en una columna y cambiar el estado de esas $m$ lámparas. Demuestre que se puede alcanzar un estado en el que todas las lámparas estén encendidas solamente si $m$ divide a $n.$

3 Sean $K$ y $L$ los puntos sobre la semicircunferencia con diámetro $AB$ . Denote la intersección de $AK$ y $AL$ como $T$ y sea $N$ el punto tal que $N$ está sobre el segmento $AB$ y la recta $TN$ es perpendicular a $AB$ . Si $U$ es la intersección de la mediatriz de $AB$ y $KL$ y $V$ es un punto sobre $KL$ tal que los ángulos $UAV$ y $UBV$ son iguales. Demuestre que $NV$ es perpendicular a $KL$ .

4 Demuestre que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ n^2+1\mid n!$ , e infinitos de aquellos para los cuales $ n^2+1 \nmid n!$ .