Una secuencia de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna secuencia kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma secuencia kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncirculo $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran en $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . Sea $CO$ se encuentra con $AB$ en $X$ , y $BO$ se encuentra con $AC$ en $Y$ . Demuestre que los circuncirculos de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen una intersección que se encuentra en la línea $AO$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncirculo $\omega$ . Un círculo $\Gamma$ es internamente tangente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Sean $AB$ y $AC$ intersecan a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en la línea $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las líneas $MP$ y $NQ$ se encuentran en $K$ e intersecan a $\Gamma$ nuevamente en $I$ y $J$ respectivamente. El rayo $KA$ se encuentra con el circuncirculo del triángulo $IJK$ nuevamente en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ .

Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \left(f(x) + f(y)\right) \geqslant \left(f(f(x)) + y\right) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

Determine la longitud máxima $L$ de una secuencia $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisfaga ambas propiedades siguientes: cada término en la secuencia es menor o igual que $2^{2023}$, y no existe una subsecuencia consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto.

Sea $A{}$ un punto en el plano cartesiano. En cada paso, Ann le dice a Bob un número $0\leqslant a\leqslant 1$ y luego él mueve $A{}$ en una de las cuatro direcciones cardinales, a su elección, a una distancia de $a{}.$ Este proceso continúa mientras Ann lo desee. Entre cada 100 movimientos consecutivos, cada uno de los cuatro movimientos posibles debe haberse realizado al menos una vez. El objetivo de Ann es obligar a Bob a elegir eventualmente un punto a una distancia mayor que 100 de la posición inicial de $A.{}$ ¿Puede Ann lograr su objetivo?

Sea $n{}$ un entero positivo y sean $a{}$ y $b{}$ enteros positivos congruentes con 1 módulo 4. Demuestre que existe un entero positivo $k{}$ tal que al menos uno de los números $a^k-b$ y $b^k-a$ es divisible por $2^n.$

Sea $n\geqslant 2$ un entero fijo. Considere $n$ números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no todos iguales y sea \[d:=\max_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_i-a_j|;\qquad s=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_i-a_j|.\] Determine en términos de $n{}$ los valores más pequeños y más grandes que puede alcanzar el cociente $s/d$.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que hay un punto $P$ dentro de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las líneas $AD, PM$ y $BC$ son concurrentes.