2 Dos cualesquiera de los números reales $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ difieren en no menos de $1$ . Existe un número real $k$ que satisface \[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2k\] \[a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=2k^2\] Demuestre que $k^2\ge 25/3$ .

3 Un plano está coloreado en cuadrados blancos y negros formando un patrón de tablero de ajedrez. Luego, todos los cuadrados blancos se colorean de rojo y azul de modo que cualesquiera dos cuadrados inicialmente blancos que compartan un vértice tengan colores distintos. (Uno es rojo y el otro es azul.) Sea $\ell$ una recta no paralela a los lados de ningún cuadrado. Para todo segmento $I$ paralelo a $\ell$ , se puede calcular la diferencia entre la longitud de sus áreas roja y azul. Demuestre que para toda recta $\ell$ de este tipo existe un número $C$ que supera todas esas diferencias que se pueden calcular.

3 En un plano cartesiano se dibujan $n$ parábolas, todas ellas gráficas de trinomios cuadráticos. No hay dos de ellas tangentes. Dividen el plano en muchas regiones, una de las cuales está por encima de todas las parábolas. Demuestre que la frontera de esta región tiene a lo sumo $2(n-1)$ vértices (es decir, las intersecciones de un par de parábolas).

3 Cualesquiera dos de los números reales $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ difieren en no menos de $1$ . Existe algún número real $k$ que satisface \[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2k\] \[a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=2k^2\] Demuestre que $k^2\ge 25/3$ .

4 Se da una pirámide $SA_1A_2A_3\ldots A_n$ cuya base es el polígono convexo $A_1A_2A_3\ldots A_n$ . Para cada $i=1,2,3,\ldots ,n$ existe un triángulo $X_iA_iA_{i+1} $ congruente con el triángulo $SA_iA_{i+1}$ que se encuentra en el mismo lado de $A_iA_{i+1}$ que la base de esa pirámide. (Se puede suponer que $a_1$ es lo mismo que $a_{n+1}$ . ) Demuestre que estos triángulos juntos cubren toda la base.

2 ¿Existen números naturales $a,b,c$ todos mayores que $10^{10}$ tales que su producto sea divisible por cada uno de estos números aumentado en $2012$ ?

4 El punto $E$ es el punto medio del segmento que une el ortocentro del triángulo escaleno $ABC$ con el punto $A$ . La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $C'$ y $B'$ , respectivamente. Demuestre que el punto $F$ , simétrico del punto $E$ con respecto a la recta $B'C'$ , se encuentra sobre la recta que pasa por el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$ .

2 Los puntos $A_1,B_1,C_1$ se encuentran sobre los lados $BC,CA$ y $AB$ del triángulo $ABC$ , respectivamente. Suponga que $AB_1-AC_1=CA_1-CB_1=BC_1-BA_1$ . Sean $O_A,O_B$ y $O_C$ los circuncentros de los triángulos $AB_1C_1,A_1BC_1$ y $A_1B_1C$ , respectivamente. Demuestre que el incentro del triángulo $O_AO_BO_C$ es también el incentro del triángulo $ABC$ .

1 Se dan el polinomio $P(x)$ y los números $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ tales que $a_1a_2a_3\not=0$ . Suponga que para todo $x$ se tiene \[P(a_1x+b_1)+P(a_2x+b_2)=P(a_3x+b_3)\] Demuestre que el polinomio $P(x)$ tiene al menos una raíz real.

4 Para un entero positivo $n$ defina $S_n=1!+2!+\ldots +n!$ . Demuestre que existe un entero $n$ tal que $S_n$ tiene un divisor primo mayor que $10^{2012}$ .