Sea $n\geq 1$ un entero. Encuentre todos los anillos $(A,+,\cdot)$ tales que todo $x\in A\setminus\{0\}$ satisface $x^{2^{n}+1}=1$ .

Sea $f: [0,1]\rightarrow(0,+\infty)$ una función continua. a) Demuestre que para cualquier entero $n\geq 1$ , existe una única división $0=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{n}=1$ tal que $\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\, dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f(x)\, dx$ se cumple para todo $k=0,1,\ldots,n-1$ . b) Para cada $n$ , considere los $a_{i}$ anteriores (que dependen de $n$ ) y defina $b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}$ . Demuestre que la secuencia $(b_{n})$ es convergente y calcule su límite.

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones $f: [0,1]\to\mathbb{R}$ que son diferenciables, con derivada continua, y $f(0)=0$ , $f(1)=1$ . Encuentre el mínimo de $\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\cdot \big(f'(x)\big)^{2}\ dx$ (donde $f\in\mathcal{F}$ ) y encuentre todas las funciones $f\in\mathcal{F}$ para las cuales se alcanza este mínimo.

Sea $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función diferenciable con derivada continua, que satisface $f\big(x+f'(x)\big)=f(x)$ . Llamemos a esta propiedad $(P)$ . a) Demuestre que si $f$ es una función con la propiedad $(P)$ , entonces existe un $x$ real tal que $f'(x)=0$ . b) Dé un ejemplo de una función no constante $f$ con la propiedad $(P)$ . c) Demuestre que si $f$ tiene la propiedad $(P)$ y la ecuación $f'(x)=0$ tiene al menos dos soluciones, entonces $f$ es una función constante.

Sea $n\geq 2$ un entero y denotemos por $H_{n}$ el conjunto de vectores columna $^{T}(x_{1},\ x_{2},\ \ldots, x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ , tales que $\sum |x_{i}|=1$ . Pruebe que existe solo un número finito de matrices $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tales que la función lineal $f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ dada por $f(x)=Ax$ tiene la propiedad $f(H_{n})=H_{n}$ .

Sea $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua, y $a<b$ dos puntos en la imagen de $f$ (es decir, existen $x,y$ tales que $f(x)=a$ y $f(y)=b$ ) . Demuestre que existe un intervalo $I$ tal que $f(I)=[a,b]$ .

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ (matrices reales $2\times 2$), que satisfacen $A^{2}+B^{2}=AB$ . Pruebe que $(AB-BA)^{2}=O_{2}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, escaleno con ortocentro $H$ . Sea $\ell_a$ la línea que pasa por el reflejo de $B$ con respecto a $CH$ y el reflejo de $C$ con respecto a $BH$ . Las líneas $\ell_b$ y $\ell_c$ se definen de manera similar. Suponga que las líneas $\ell_a$ , $\ell_b$ y $\ell_c$ determinan un triángulo $\mathcal T$ . Demuestre que el ortocentro de $\mathcal T$ , el circuncentro de $\mathcal T$ y $H$ son colineales.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ se encuentra una moneda con su lado de cruz hacia arriba. Un movimiento consta de los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que cada moneda muestre el lado de cara hacia arriba después de un número finito de movimientos.

Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consta de una serie de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.