En un triángulo $ ABC$ , donde $ a = BC$ , $ b = CA$ y $ c = AB$ , se sabe que: $ a + b - c = 2$ y $ 2ab - c^2 = 4$ . Pruebe que $ ABC$ es un triángulo equilátero.

a) Para un conjunto finito de números naturales $S$ , denote por $S+S$ el conjunto de números $z=x+y$ , donde $x,y\in S$ . Sea $m=|S|$ . Demuestre que $|S+S|\leq \frac{m(m+1)}{2}$ . b) Sea $m$ un entero positivo fijo. Denote por $C(m)$ el entero más grande $k\geq 1$ para el cual existe un conjunto $S$ de $m$ enteros, tal que $\{1,2,\ldots,k\}\subseteq S\cup(S+S)$ . Por ejemplo, $C(3)=8$ , con $S=\{1,3,4\}$ . Demuestre que $\frac{m(m+6)}{4}\leq C(m) \leq \frac{m(m+3)}{2}$ .

¿Para qué enteros $n\geq 2$ , el número $(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}}$ es divisible por $n^{n}$ ?

Resuelva la ecuación \[2^{x^{2}+x}+\log_{2}x = 2^{x+1}\]

Demuestre que la ecuación $z^{n}+z+1=0$ tiene una solución con $|z|=1$ si y solo si $n-2$ es divisible por $3$ .

Dado un conjunto $A$ y una función $f: A\rightarrow A$ , denotamos por $f_{1}(A)=f(A)$ , $f_{2}(A)=f(f_{1}(A))$ , $f_{3}(A)=f(f_{2}(A))$ , y así sucesivamente, ( $f_{n}(A)=f(f_{n-1}(A))$ , donde la notación $f(B)$ significa el conjunto $\{ f(x) : x\in B\}$ de imágenes de puntos de $B$ ) . Denotamos también por $f_{\infty}(A)=f_{1}(A)\cap f_{2}(A)\cap \ldots = \bigcap_{n\geq 1}f_{n}(A)$ . a) Demuestre que si $A$ es finito, entonces $f(f_{\infty}(A))=f_{\infty}(A)$ . b) Determine si lo anterior es cierto para $A=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ y la función \[f\big((m,n)\big)=\begin{cases}(m+1,n) & \mbox{si }n\geq m\geq 1 \\ (0,0) & \mbox{si }m>n \\ (0,n+1) & \mbox{si }n=0. \end{cases}\]

El plano está dividido en franjas de ancho $1$ por líneas paralelas (una franja - la región entre dos líneas paralelas). Los puntos del interior de cada franja están coloreados con rojo o blanco, de modo que en cada franja solo se usa un color (los puntos de una franja están coloreados con el mismo color). Los puntos de las líneas no están coloreados. Demuestre que existe un triángulo equilátero de lado $100$ , con todos los vértices del mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y el punto $M$ elegido diferente de $A,B,C$ . Pruebe que $M$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ si y solo si \[\frac{BC}{MA}\vec{MA}+\frac{CA}{MB}\vec{MB}+\frac{AB}{MC}\vec{MC}= \vec{0}\]

Sean $a, b, c, d \in \mathbb{N^{*}}$ tales que la ecuación \[x^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+1)x+ab+bc+cd+da=0 \] tiene una solución entera. Pruebe que la otra solución también es entera y ambas soluciones son cuadrados perfectos.

Sea $n\geq 3$ un entero y $S_{n}$ el grupo de permutaciones. $G$ es un subgrupo de $S_{n}$ , generado por $n-2$ transposiciones. Para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ , denote por $S(k)$ el conjunto $\{\sigma(k) : \sigma\in G\}$ . Demuestre que para cualquier $k$ , $|S(k)|\leq n-1$ .