B5. Di que una matriz $n$ por $n$, $A=(a_{ij})_{1\le i,j \le n}$, con entradas enteras es muy impar si, para todo subconjunto no vacío $S$ de $\{1,2,\dots,n \}$, la submatriz $|S|$ por $|S|$ $(a_{ij})_{i,j \in S}$ tiene determinante impar. Demuestra que si $A$ es muy impar, entonces $A^k$ es muy impar para todo $k \ge 1$.

B6 Dada una lista ordenada de $3N$ números reales, podemos recortarla para formar una lista de $N$ números de la siguiente manera: dividimos la lista en $N$ grupos de $3$ números consecutivos, y dentro de cada grupo descartamos el mayor y el menor, quedándonos solo con la mediana. Considera generar un número aleatorio $X$ mediante el siguiente procedimiento: comienza con una lista de $3^{2021}$ números, elegidos de manera independiente y uniformemente al azar entre $0$ y $1$. Luego recorta esta lista como se definió arriba, dejando una lista de $3^{2020}$ números. Después recorta de nuevo repetidamente hasta que solo quede un número; sea $X$ ese número. Sea $\mu$ el valor esperado de $\left|X-\frac{1}{2} \right|$. Demuestra que \[ \mu \ge \frac{1}{4}\left(\frac{2}{3} \right)^{2021}. \]

Los números positivos $a$ y $b$ satisfacen \[ \frac{a}{b}+\frac{a+2025}{b+2025}+\frac{a+2026}{b+2026}=3. \] ¿Qué valores puede tomar la diferencia $a-b$ ? Propuesto por Bogdan Rublov

A1 ¿Cuántos enteros positivos $N$ satisfacen las siguientes tres condiciones? (i) $N$ es divisible por $2020$. (ii) $N$ tiene a lo más $2020$ dígitos decimales. (iii) Los dígitos decimales de $N$ son una cadena de unos consecutivos seguida de una cadena de ceros consecutivos.

A2 Sea $k$ un entero no negativo. Evalúa \[ \sum_{j=0}^k 2^{k-j} \binom{k+j}{j}. \]

A3 Sea $a_0=\pi /2$, y sea $a_n=\sin (a_{n-1})$ para $n\ge 1$. Determina si \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \] converge.

Considera una franja horizontal de $N+2$ casillas en la que la primera y la última casilla son negras y las $N$ casillas restantes son todas blancas. Elige una casilla blanca uniformemente al azar, elige uno de sus dos vecinos con igual probabilidad, y colorea ese vecino de negro si no es ya negro. Repite este proceso hasta que todas las casillas blancas restantes tengan únicamente vecinos negros. Sea $w(N)$ el número esperado de casillas blancas que quedan. Encuentra \[ \lim_{N\to\infty}\frac{w(N)}{N}.\]

A5 Sea $a_n$ el número de conjuntos $S$ de enteros positivos para los cuales \[ \sum_{k\in S}F_k=n,\] donde la sucesión de Fibonacci $(F_k)_{k\ge 1}$ satisface $F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$ y comienza con $F_1=1$ , $F_2=1$ , $F_3=2$ , $F_4=3$ . Encuentra el mayor número $n$ tal que $a_n=2020$ .

Para un entero positivo $N$, sea $f_N$ la función definida por \[ f_N (x)=\sum_{n=0}^N \frac{N+1/2-n}{(N+1)(2n+1)} \sin\left((2n+1)x \right). \] Determina la constante más pequeña $M$ tal que $f_N (x)\le M$ para todo $N$ y todo $x$ real.

B1 Para un entero positivo $n$, define $d(n)$ como la suma de los dígitos de $n$ cuando se escribe en binario (por ejemplo, $d(13)=1+1+0+1=3$). Sea \[ S=\sum_{k=1}^{2020}(-1)^{d(k)}k^3. \] Determina $S$ módulo $2020$.