2 Para un punto $X$ sobre el lado $AC$ del triángulo $ABC$ , la recta $BX$ interseca nuevamente al círculo $\omega$ que contiene al triángulo $ABC$ en el punto $D$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de los círculos que contienen a los triángulos $AXD$ y $CXD$ . Demuestre que si el círculo que contiene al triángulo $DO_1O_2$ interseca al círculo $\omega$ en un punto $T$ distinto de $D$ , entonces $T$ no depende de la elección de $X$ .

3 Demuestre que existen infinitos números naturales distintos $a,b$ tales que $\operatorname{rad}(a^2+1)=\operatorname{rad}(b^2+1)$ ( $\operatorname{rad}(n)$ es el producto de todos los primos que dividen a $n$ ) .

4 Halle todas las funciones $f$ definidas en los números reales positivos y con valores reales negativos que cumplen las siguientes propiedades: i) Para cualesquiera números positivos $x,y$ se cumple \[f(x+y)=f(-f(x))+f(-f(y))\] ii) Para cualquier número natural $n$ , $f(2^n)=-2^n$

5 Sobre el círculo están marcados $2013$ puntos, que son los vértices de un $2013$ -gono regular. ¿De cuántas maneras se pueden colocar los dígitos $1,2,3,4,5,6$ en los puntos marcados de modo que la diferencia entre los dígitos escritos en vértices adyacentes no sea mayor que $1$ o sea igual a $ 5$ ?

6 Dados un círculo $w$ , un punto $X$ exterior a $w$ y las tangentes $XY,XZ$ a $w$ . El punto medio $M$ de $YZ$ está sobre el lado $AC$ del triángulo $ABC$ circunscrito a $w$ . Los puntos $P,Q$ son simétricos a $M$ respecto a las rectas $AB,BC$ . Demuestre que los puntos $X,B,P,Q$ están sobre un círculo.

1 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ , y sea $l$ la recta que pasa por el punto medio del segmento $BC$ y que además es perpendicular a la bisectriz del ángulo $ \angle BAC $ . Suponga que el punto medio del segmento $AO$ está sobre $l$ . Halle $ \angle BAC $ .

2 Halle todas las ternas ordenadas de enteros positivos $(a,\ b,\ c)$ tales que $2^a+3^b+1=6^c$ .

3 En una escuela hay $n$ estudiantes y algunos de ellos son amigos entre sí. (La amistad es mutua.) Defina $ a, b $ como los valores mínimos que satisfacen las siguientes condiciones: (1) Podemos dividir a los estudiantes en $ a $ equipos tales que dos estudiantes del mismo equipo siempre sean amigos. (2) Podemos dividir a los estudiantes en $ b $ equipos tales que dos estudiantes del mismo equipo nunca sean amigos. Halle el valor máximo de $ N = a+b $ en términos de $n$ .

4 Sea $ \Gamma $ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ , y sea $l$ la recta tangente a $\Gamma $ que pasa por $A$ . Sean $ D, E $ los puntos sobre los lados $AB, AC$ , respectivamente, tales que $ BD : DA= AE : EC $ . La recta $ DE $ corta a $\Gamma $ en los puntos $ F, G $ . La recta paralela a $AC$ que pasa por $ D $ corta a $l$ en $H$ , y la recta paralela a $AB$ que pasa por $E$ corta a $l$ en $I$ . Demuestre que existe un círculo que pasa por los cuatro puntos $ F, G, H, I $ y es tangente a la recta $ BC$ .

5 Halle el valor máximo del número real $k$ tal que \[\frac{a}{1+9bc+k(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a)^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b)^2}\geq \frac{1}{2}\] se cumple para todos los números reales no negativos $a,\ b,\ c$ que satisfacen $a+b+c=1$ .