2 Dados un triángulo $ABC$ y un punto $M$ tales que las rectas $MA,MB,MC$ intersecan a las rectas $BC,CA,AB$ en este orden en los puntos $D,E$ y $F,$ respectivamente. Demuestre que existen números $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \in \{-1, 1\}$ tales que: \[\epsilon_1 \cdot \frac{MD}{AD} + \epsilon_2 \cdot \frac{ME}{BE} + \epsilon_3 \cdot \frac{MF}{CF} = 1.\]

3 Sea $N$ un número natural y $x_1, \ldots , x_n$ números naturales adicionales menores que $N$ y tales que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos de estos $n$ números es mayor que $N$ . Demuestre que la suma de los recíprocos de estos $n$ números es siempre menor que $2$ : $\sum^n_{i=1} \frac{1}{x_i} < 2.$

1 Halle todas las funciones $f$ de los reales en los reales tales que \[f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\] para todos los reales $x,y$ .

2 Sea $B$ un punto sobre un círculo $S_1$ , y sea $A$ un punto distinto de $B$ sobre la tangente a $S_1$ en $B$ . Sea $C$ un punto que no está sobre $S_1$ tal que el segmento de recta $AC$ corta a $S_1$ en dos puntos distintos. Sea $S_2$ el círculo que toca a $AC$ en $C$ y toca a $S_1$ en un punto $D$ en el lado opuesto de $AC$ respecto de $B$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $BCD$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

3 Para $n$ un entero positivo impar, los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez $n\times n$ se colorean alternadamente de negro y blanco, con las cuatro esquinas coloreadas de negro. Un trominó es una forma de $L$ formada por tres cuadrados unitarios conectados. ¿Para qué valores de $n$ es posible cubrir todos los cuadrados negros con trominós que no se superponen? Cuando es posible, ¿cuál es el número mínimo de trominós necesarios?

1 Determine el número de todos los números que se representan como $x^2+y^2$ con $x, y \in \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ y que son divisibles por 121.

2 Demuestre: Si $x, y, z$ son las longitudes de las bisectrices de los ángulos de un triángulo con perímetro 6, entonces se tiene: \[\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \geq 1.\]

3 Determine todos los $(x,y) \in \mathbb{N}^2$ que satisfacen $x^{2y} + (x+1)^{2y} = (x+2)^{2y}.$

1 Sea $P$ el conjunto de todos los pares ordenados $ \left(p,q\right)$ de enteros no negativos. Halle todas las funciones $f: P \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q) = \begin{cases} 0 & \text{if} \; pq = 0, \\ 1 + \frac{1}{2} f(p+1,q-1) + \frac{1}{2} f(p-1,q+1) & \text{otherwise} \end{cases} \] Compare con el problema 2001 de la lista corta de la IMO, álgebra A1, para el caso de tres variables.

1 Sean $E$ y $F$ sobre $AC$ y $AB$ respectivamente en $\triangle ABC$ tales que $DE || BC$ ; luego trace la recta $l$ que pasa por $A$ tal que $l || BC$ ; sean $D'$ y $E'$ los reflejos de $D$ y $E$ respecto de $l$ , respectivamente; demuestre que $D'B, E'C$ y $l$ son concurrentes.