Sea $S > 1$ un número real. El plano cartesiano se divide en rectángulos cuyos lados son paralelos a los ejes del sistema de coordenadas y cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Demuestre que si el área de cada triángulo es como máximo $S$ , entonces para cualquier entero positivo $k$ existen $k$ vértices de estos rectángulos que se encuentran en una línea.

Sean $x_1,x_2,...,x_n$ números reales con $1 \ge x_1 \ge x_2\ge ... \ge x_n \ge 0$ y $x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2= 1$ . Si $[x_1 +x_2 +...+x_n] = m$ , demuestre que $x_1 +x_2 +...+x_m \ge 1$ .

Sea $ABCD$ un tetraedro; $B', C', D'$ los puntos medios de los lados $AB, AC, AD$ ; $G_A, G_B, G_C, G_D$ los baricentros de los triángulos $BCD, ACD, ABD, ABC$ , y $G$ el baricentro del tetraedro. Demuestre que $A, G, G_B, G_C, G_D$ están todos en una esfera si y sólo si $A, G, B', C', D'$ también están en una esfera.

Para un entero positivo $a$ , defina la secuencia ( $x_n$ ) por $x_1 = x_2 = 1$ y $x_{n+2 }= (a^4 +4a^2 +2)x_{n+1} -x_n -2a^2$ , para n $\ge 1$ . Demuestre que $x_n$ es un cuadrado perfecto y que para $n > 2$ su raíz cuadrada es igual a la primera entrada en la matriz $\begin{pmatrix}\na^2+1 & a \na & 1 \n\end{pmatrix}^{n-2}$

Suponga que $ f : N \to N$ es una función creciente tal que $f(f(n)) = 3n$ para toda $n$ . Encuentre $f(1992)$ .

Un conjunto $S=\{ s_1,s_2,...,s_k\}$ de números reales positivos es 'poligonal' si $k\geq 3$ y hay un $k-$ gono planar no degenerado cuyas longitudes de los lados son exactamente $s_1,s_2,...,s_k$ ; el conjunto $S$ es multipoligonal si en cada partición de $S$ en dos subconjuntos, cada uno de los cuales tiene al menos tres elementos, exactamente uno de estos dos subconjuntos es poligonal. Fija un entero $n\geq 7$ . (a) ¿Existe un conjunto multipoligonal de $n-$ elementos, cuya eliminación del elemento maximal deja un conjunto multipoligonal? (b) ¿Es posible que cada subconjunto de $(n-1)-$ elementos de un conjunto de $n-$ elementos de números reales positivos sea multipoligonal?

Determina todas las $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ tales que $f(m)\geq m$ y $f(m+n) \mid f(m)+f(n)$ para todos los $m,n\in \mathbb{Z}^+$

Determina los enteros positivos expresables en la forma $\frac{x^2+y}{xy+1}$ , para al menos $2$ pares $(x,y)$ de enteros positivos

Dado un primo $p$ , demuestra que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos los primos $q$ excepto para un número finito de ellos.

Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$ . Sean $D$ , $F$ , y $G$ los puntos medios de los lados $AB$ , $AC$ , y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ se encuentra con los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$ , respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos a $H$ e $I$ con respecto a $F$ y $G$ , respectivamente. La línea $H'I'$ se encuentra con $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. La línea $CM$ se encuentra con $\Gamma$ nuevamente en $P$ . Demuestra que $CQ = QP$ .