2 Sea $M$ el punto medio del lado BC de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $D$ y $E$ los centros de las circunferencias exinscritas de los triángulos $AMB$ y $AMC$ tangentes a los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ interseca a la recta $ BC$ por segunda vez en el punto $F$ , y la circunferencia circunscrita del triángulo $ACE$ la interseca en el punto $G$ . Demuestre que $| BF | = | CG|$ .

3 Decimos que un conjunto $S$ de enteros es rootiful si, para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera $a_0, a_1, \cdots, a_n \in S$ , todas las raíces enteras del polinomio $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ también pertenecen a $S$ . Halle todos los conjuntos rootiful de enteros que contienen todos los números de la forma $2^a - 2^b$ para enteros positivos $a$ y $b$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia $\Gamma$ pasa por $A$ , corta a los segmentos $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $D$ y $E$ respectivamente, e interseca al segmento $BC$ en $F$ y $G$ tal que $F$ se encuentra entre $B$ y $G$ . La tangente a la circunferencia $BDF$ en $F$ y la tangente a la circunferencia $CEG$ en $G$ se cortan en el punto $T$ . Suponga que los puntos $A$ y $T$ son distintos. Demuestre que la recta $AT$ es paralela a $BC$ . (Nigeria)

3 Halle todas las funciones $f :R \to R$ tales que para todos los números reales $x$ y $y$ $$f(x^3+y^3)=f(x^3)+3x^3f(x)f(y)+3f(x)(f(y))^2+y^6f(y)$$

1 Para todo entero positivo $x$ , sea $k(x)$ el número de números compuestos que no superan a $x$ . Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales $(k (n))! $ mcm $(1, 2,..., n)> (n - 1) !$ .

3 En el plano, hay $n \geqslant 6$ discos disjuntos por pares $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ con radios $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$ . Para cada $i=1,2, \ldots, n$ , se elige un punto $P_{i}$ en el disco $D_{i}$ . Sea $O$ un punto arbitrario del plano. Demuestre que \[O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}.\] (Se supone que un disco contiene su borde.)

6 Está permitido realizar las siguientes transformaciones en el plano con cualquier entero $a$ : (1) Transformar cada punto $(x, y)$ en el punto correspondiente $(x + ay, y)$ , (2) Transformar cada punto $(x, y)$ en el punto correspondiente $(x, y + ax)$ . ¿Existe un rombo que no sea un cuadrado, cuyos vértices tengan todos coordenadas enteras y que pueda transformarse en: a) los vértices de un cuadrado, b) los vértices de un rectángulo con lados de longitudes desiguales?

2 Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo, $\alpha ,\beta ,\gamma$ los ángulos correspondientes y $r$ el inradio. Demuestre que $$a\cdot sin\alpha+b\cdot sin\beta+c\cdot sin\gamma\geq 9r$$

4 Llamemos interesante a un número real $r$ si $r = a + b\sqrt2$ para algunos enteros a y b. Sean $A(x)$ y $B(x)$ funciones polinómicas con coeficientes interesantes para las cuales el término constante de $B(x)$ es $1$ , y sea $Q(x)$ una función polinómica con coeficientes reales tal que $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$ . Demuestre que los coeficientes de $Q(x)$ son interesantes.

3 Los números primos $p$ y $q$ y el entero $a$ se eligen de modo que $p> 2$ y $a \not\equiv 1$ (mod $q$ ) , pero $a^p \equiv 1$ (mod $q$ ) . Demuestre que $(1 + a^1)(1 + a^2)...(1 + a^{p - 1})\equiv 1$ (mod $q$ ) .