En el plano cartesiano se da un polígono $P$ cuyos vértices tienen coordenadas enteras y con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Demuestre que si la longitud de cada lado de $P$ es un entero impar, entonces la superficie de P no se puede dividir en rectángulos de $2\times 1$.

En un tetraedro $VABC$ , sea $I$ el incentro y $A',B',C'$ puntos arbitrarios en los lados $AV,BV,CV$ , y sean $S_a,S_b,S_c,S_v$ las áreas de los triángulos $VBC,VAC,VAB,ABC$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $A',B',C',I$ son coplanares si y sólo si $\frac{AA'}{A'V}S_a +\frac{BB'}{B'V}S_b +\frac{CC'}{C'V}S_c = S_v$

Sean $x, y$ números reales tales que $1\le x^2-xy+y^2\le2$ . Demuestre que: a) $\dfrac{2}{9}\le x^4+y^4\le 8$ ; b) $x^{2n}+y^{2n}\ge\dfrac{2}{3^n}$ , para toda $n\ge3$ .

Sean $m,n \ge 2$ enteros. Los lados $A_{00}A_{0m}$ y $A_{nm}A_{n0}$ de un cuadrilátero convexo $A_{00}A_{0m}A_{nm}A_{n0}$ se dividen en $m$ segmentos iguales por los puntos $A_{0j}$ y $A_{nj}$ respectivamente ( $j = 1,...,m-1$ ) . Los otros dos lados se dividen en $n$ segmentos iguales por los puntos $A_{i0}$ y $A_{im}$ ( $i = 1,...,n -1$ ) . Denotemos por $A_{ij}$ la intersección de las líneas $A_{0j}A{nj}$ y $A_{i0}A_{im}$ , por $S_{ij}$ el área del cuadrilátero $A_{ij}A_{i, j+1}A_{i+1, j+1}A_{i+1, j}$ y por $S$ el área del cuadrilátero grande. Demuestre que $S_{ij} +S_{n-1-i,m-1-j} =\n\frac{2S}{mn}$

Sean $(a_{n})_{n\geq 1}$ y $(b_{n})_{n\geq 1}$ la secuencia de enteros positivos definida por $a_{n+1}=na_{n}+1$ y $b_{n+1}=nb_{n}-1$ para $n\geq 1$ . Demuestre que las dos secuencias no pueden tener infinitos términos comunes.

Sean $m,n$ enteros positivos y $p$ un número primo. Demuestre que si $\frac{7^m + p \cdot 2^n}{7^m - p \cdot 2^n}$ es un entero, entonces es un número primo.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Suponga que el circunradio del triángulo es $R = 2p$ , donde $p$ es un número primo. Las líneas $AO,BO,CO$ se encuentran con los lados $BC,CA,AB$ en $A_1,B_1,C_1$ , respectivamente. Dado que las longitudes de $OA_1,OB_1,OC_1$ son enteros positivos, encuentre las longitudes de los lados del triángulo.

Sea $A$ el conjunto de todas las secuencias ordenadas $(a_1,a_2,...,a_{11})$ de ceros y unos. Los elementos de $A$ se ordenan de la siguiente manera: El primer elemento es $(0,0,...,0)$ , y el $n + 1$ − ésimo se obtiene del $n$ − ésimo cambiando el primer componente desde la derecha de tal manera que la secuencia recién obtenida no se haya obtenido antes. Encuentre el término $1992$ − ésimo del conjunto ordenado $A$

Sea $\pi$ el conjunto de puntos en un plano y $f : \pi \to \pi$ una aplicación tal que la imagen de cualquier triángulo (como su línea poligonal) es un cuadrado. Demuestre que $f(\pi)$ es un cuadrado.

Sean $ a_1, a_2, ..., a_k $ enteros positivos distintos tales que las $2^k$ sumas $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}{\epsilon_i a_i}$ , $\epsilon_i\in\left\{0,1\right\}$ son distintas. a) Demuestre que $ \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_k}\le2(1-2^{-k}) $ ; b) Encuentre las secuencias $(a_1,a_2,...,a_k)$ para las cuales se cumple la igualdad.