1 Calcula $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}$ .

Dos patinadoras, Allie y Billie, están en los puntos $A$ y $B$, respectivamente, sobre un lago congelado y plano. La distancia entre $A$ y $B$ es de $100$ metros. Allie sale de $A$ y patina a una velocidad de $8$ metros por segundo en línea recta que forma un ángulo de $60^\circ$ con $AB$. Al mismo tiempo que Allie sale de $A$, Billie sale de $B$ a una velocidad de $7$ metros por segundo y sigue la trayectoria recta que produce el encuentro más temprano posible de las dos patinadoras, dadas sus velocidades. ¿Cuántos metros patina Allie antes de encontrarse con Billie? [asy] defaultpen(linewidth(0.8)); draw((100,0)--origin--60*dir(60), EndArrow(5)); label("$A$", origin, SW); label("$B$", (100,0), SE); label("$100$", (50,0), S); label("$60^\circ$", (15,0), N);[/asy]

Si el entero $k$ se suma a cada uno de los números $36$ , $300$ y $596$ , se obtienen los cuadrados de tres términos consecutivos de una serie aritmética. Encuentra $k$ .

8. Supón que $x_1,x_2,\ldots,x_7$ son números reales tales que \[ \begin{array}{r} x_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5+36x_6+49x_7=1\,\,\,\,\,\,\,\, \\ 4x_1+9x_2+16x_3+25x_4+36x_5+49x_6+64x_7=12\,\,\,\,\, \\ 9x_1+16x_2+25x_3+36x_4+49x_5+64x_6+81x_7=123. \\ \end{array} \] Encuentra el valor de \[16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_5+81x_6+100x_7.\]

9 Una de las conjeturas de Euler fue refutada en los años 1960 por tres matemáticos estadounidenses cuando mostraron que existía un entero positivo $ n$ tal que \[133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 = n^5.\] Encuentra el valor de $ n$ .

10 Sean \(a\), \(b\), \(c\) los tres lados de un triángulo, y sean \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) los ángulos opuestos a ellos. Si \(a^2+b^2=1989c^2\), encuentra \[ \frac{\cot \gamma}{\cot \alpha+\cot \beta}. \]

Se da una muestra de 121 enteros, cada uno entre 1 y 1000 inclusive, con repeticiones permitidas. La muestra tiene una moda única (el valor más frecuente). Sea $D$ la diferencia entre la moda y la media aritmética de la muestra. ¿Cuál es el mayor valor posible de $\lfloor D\rfloor$? (Para un real $x$, $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x$.)

12 Sea \(ABCD\) un tetraedro con \(AB=41\), \(AC=7\), \(AD=18\), \(BC=36\), \(BD=27\) y \(CD=13\), como se muestra en la figura. Sea \(d\) la distancia entre los puntos medios de las aristas \(AB\) y \(CD\). Encuentra \(d^{2}\).

Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,3,\ldots,1989\}$ tal que no hay dos elementos de $S$ que difieran por $4$ o $7$. ¿Cuál es el mayor número de elementos que puede tener $S$?

14 Dado un entero positivo \(n\), se puede demostrar que todo número complejo de la forma \(r+si\), donde \(r\) y \(s\) son enteros, se puede expresar de manera única en la base \(-n+i\) usando los enteros \(1,2,\ldots,n^2\) como dígitos. Es decir, la ecuación \[ r+si=a_m(-n+i)^m+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}+\cdots +a_1(-n+i)+a_0 \] se cumple para una elección única del entero no negativo \(m\) y de los dígitos \(a_0,a_1,\ldots,a_m\) elegidos del conjunto \(\{0,1,2,\ldots,n^2\}\), con \(a_m\ne 0\). Escribimos \[ r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i} \] para denotar la expansión en base \(-n+i\) de \(r+si\). Solo hay finitamente muchos enteros \(k+0i\) que tienen expansiones de cuatro dígitos \[ k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}~~~~a_3\ne 0. \] Encuentra la suma de todos esos \(k\).