Sean $a < b$ enteros positivos. Demuestre que existe un entero positivo $n{}$ y un polinomio de la forma \[\pm1\pm x\pm x^2\pm\cdots\pm x^n,\] divisible por el polinomio $1+x^a+x^b$ .

Halle todos los $r{}$ positivos que satisfacen la siguiente condición: Para todo $d > 0$ , existen dos circunferencias de radio $r{}$ en el plano que no contienen puntos de la red estrictamente en su interior y tales que la distancia entre sus centros es $d{}$ .

3 Se coloca una ficha en el origen de un retículo de enteros. Calvin y Hobbes juegan al siguiente juego. Calvin comienza el juego y cada uno de ellos juega por turnos alternados. En cada turno, uno puede elegir dos enteros $a, b$ (no necesariamente distintos), ninguno de los cuales fue elegido antes por ningún jugador, y mover la ficha $a$ unidades en la dirección horizontal y $b$ unidades en la dirección vertical. Hobbes gana si la ficha vuelve al origen en cualquier momento después del primer turno. Demuestre o refute que Calvin puede evitar que Hobbes gane. Nota: Un movimiento en la dirección horizontal de una cantidad positiva será hacia la derecha, y de una cantidad negativa será hacia la izquierda (y direcciones similares en el caso vertical).

2 Sea $n$ un número natural. Una triangulación de un n-ágono convexo es una división del polígono en $n-2$ triángulos trazando $n-3$ diagonales de las cuales no hay dos que se intersequen en un punto interior del polígono. Sea $f(n)$ el número de triangulaciones de un n-ágono regular tales que cada uno de los triángulos formados es isósceles. Determine $f(n)$ en términos de $n$ .

Sea $p$ un número primo impar y sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Suponga que una función $f:\mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}\to\{0,1\}$ satisface las siguientes propiedades: $f(1,1)=0$ . $f(a,b)+f(b,a)=1$ para todo par de enteros positivos coprimos $(a,b)$ no ambos iguales a 1; $f(a+b,b)=f(a,b)$ para todo par de enteros positivos coprimos $(a,b)$ . Demuestre que $$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \geqslant \sqrt{2p}-2.$$

Hay 2018 puntos marcados sobre una esfera. Una cebra quiere pintar cada punto de blanco o de negro y, quizás, unir algunos pares de puntos de colores distintos con un segmento. Halle el residuo módulo 5 del número de maneras de hacerlo.

En el triángulo $ABC$ , sea $\omega$ la circunferencia exinscrita opuesta a $A$ . Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente. La circunferencia $AEF$ interseca a la recta $BC$ en $P$ y $Q$ . Sea $M$ el punto medio de $AD$ . Demuestre que la circunferencia $MPQ$ es tangente a $\omega$ .

Sean $a,b,c>0.$ Demuestre que $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \ge \frac{1}{\sqrt{2a^2+2bc}}+\frac{1}{\sqrt{2b^2+2ca}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+2ab}}$ Dr.frankenstein

Sea $f(x) = x^2 + 2018x + 1$ . Sea $f_1(x)=f(x)$ y $f_k(x)=f(f_{k-1}(x))$ para todo $k\geqslant 2$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $n{}$ , la ecuación $f_n(x)=0$ tiene al menos dos raíces reales distintas.

Sea $k$ un entero positivo par dado. Sarah elige primero un entero positivo $N$ mayor que $1$ y procede a alterarlo de la siguiente manera: cada minuto, elige un divisor primo $p$ del valor actual de $N$ , y multiplica el $N$ actual por $p^k -p^{-1}$ para producir el siguiente valor de $N$ . Demuestre que hay infinitos enteros positivos pares $k$ tales que, sin importar qué elecciones haga Sarah, su número $N$ será en algún momento divisible por $2018$ . Amir