4 4. Se da un triángulo acutángulo $A B C, H$ es su ortocentro. Sea $P$ un punto arbitrario en el interior (y no sobre los lados) del triángulo $A B C$ que pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $A B H$ . Sean $A^{\prime}, B^{\prime}$ , $C^{\prime}$ las proyecciones del punto $P$ sobre las rectas $B C, C A, A B$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ pasa por el punto medio del segmento $C P$ . Alexey Zaslavsky

2 Un conjunto $S$ consta de $1992$ enteros positivos entre cuyos dígitos de las unidades aparecen los $10$ dígitos. Muestre que existe tal conjunto $S$ que no tiene ningún subconjunto no vacío $S_{1}$ cuya suma de elementos sea divisible por $2000$ . N.T.TUAN

2 Los números positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ son tales que $ \left(a + b\right)\left(b + c\right)\left(c + a\right) = 8$ . Demuestre la desigualdad \[ \frac {a + b + c}{3}\ge\sqrt [27]{\frac {a^3 + b^3 + c^3}{3}} \]

3 Se nos dan $100$ sucesiones estrictamente crecientes de enteros positivos: $A_{i}= (a_{1}^{(i)}, a_{2}^{(i)},...), i = 1, 2,..., 100$ . Para $1 \leq r, s \leq 100$ definimos las siguientes cantidades: $f_{r}(u)=$ el número de elementos de $A_{r}$ que no exceden $n$ ; $f_{r,s}(u) =$ el número de elementos de $A_{r}\cap A_{s}$ que no exceden $n$ . Suponga que $f_{r}(n) \geq\frac{1}{2}n$ para todo $r$ y $n$ . Demuestre que existe un par de índices $(r, s)$ con $r \not = s$ tal que $f_{r,s}(n) \geq\frac{8n}{33}$ para al menos cinco $n-s$ distintos con $1 \leq n < 19920.$ N.T.TUAN

4 Se nos da un pentágono convexo $ABCDE$ en el plano coordenado tal que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ son puntos de la retícula. Sea $Q$ el pentágono convexo limitado por las cinco diagonales del pentágono $ABCDE$ (de modo que los vértices de $Q$ son los puntos interiores de intersección de las diagonales del pentágono $ABCDE$ ) . Demuestre que existe un punto de la retícula dentro de $Q$ o sobre la frontera de $Q$ .

4 Un tablero de $9 \times 10$ está dividido en $90$ celdas unitarias. Hay ciertas reglas para mover una reina de ajedrez no estándar de una casilla a otra: la reina solo puede moverse a lo largo de la columna o la fila en la que se encuentra en cada paso. Para cualquier número natural $n$ , si se hacen $x$ movimientos de celdas en el paso $(2n-1)$ -ésimo, entonces se harán $9-x$ movimientos de celdas en el paso $(2n)$ -ésimo. La última celda en la que se detiene durante estos pasos se considera la celda visitada. ¿Es posible que la reina se mueva desde cualquier casilla del tablero y regrese a la casilla donde comenzó después de visitar todas las casillas del tablero exactamente una vez? Nota: En cada paso, la reina elige la dirección derecha, izquierda, arriba o abajo que puede elegir dentro de la condición anterior.

4 Resuelva la siguiente ecuación diofántica en el conjunto de los enteros no negativos: $11^{a}5^{b}-3^{c}2^{d}=1$ . Math-lover123

5 Los baklavas con nueces se colocan en una fila sobre la mesa en la celebración de Nowruz. Kosa y Kechel vieron esto y decidieron jugar un juego. Kosa come un baklava del principio o del final de la fila en cada movimiento. Kechel, en cada movimiento, o no toca nada o elige el baklava que quiera y solo se come la nuez que tiene encima. Acuerdan que primero Kosa comenzará el juego y hará $20$ movimientos en cada paso, y Kechel hará solo $1$ movimiento en cada paso. Si el último baklava que come Kosa tiene nuez, gana el juego. Se sabe que el número de baklavas es múltiplo de $20.$ $A)$ Si el número de baklavas es $400,$ demuestre que Kosa ganará el juego independientemente de la estrategia que elija Kechel. $B)$ ¿Es siempre cierto que, sin importar cuántos baklavas haya ni qué estrategia elija Kechel, Kosa ganará siempre el juego?

1 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $C_2$ es el triple del radio de $C_1$ . Sea una recta tangente a $C_1$ en $P \neq S$ y a $C_2$ en $Q \neq S$ . Sea $T$ un punto sobre $C_2$ tal que $QT$ es diámetro de $C_2$ . Sea la bisectriz del ángulo $\angle SQT$ que corta a $ST$ en $R$ . Demuestre que $QR=RT$

2 Un par de enteros positivos $m, n$ se llama guerrera si existen enteros positivos $a, b, c, d$ tales que $m=ab$ , $n=cd$ y $a+b=c+d$ . Por ejemplo, el par $8, 9$ es guerrera porque $8= 4 \cdot 2$ , $9= 3 \cdot 3$ y $4+2=3+3$ . Pintamos los enteros positivos en el siguiente orden: Empezamos pintando los números $3$ y $5$ . Si un entero positivo $x$ no está pintado y un entero positivo $y$ está pintado tal que el par $x, y$ es guerrera , pintamos $x$ . Encuentre todos los enteros positivos $x$ que pueden ser pintados.