Determinar todas las secuencias de razones iguales de la forma \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_3}{a_4} = \frac{a_5}{a_6} = \frac{a_7}{a_8} \] que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: $\bullet$ El conjunto $\{ a_1, a_2, \ldots , a_8 \}$ representa todos los divisores positivos de $24$. $\bullet$ El valor común de las razones es un número natural.

Decimos que un número $n \ge 2$ tiene la propiedad $(P)$ si, en su factorización prima, al menos uno de los factores tiene un exponente $3$. a) Determinar el menor número $N$ con la propiedad de que, no importa cómo elijamos $N$ números naturales consecutivos, al menos uno de ellos tiene la propiedad $(P).$ b) Determinar los $15$ números consecutivos más pequeños $a_1, a_2, \ldots, a_{15}$ que no tienen la propiedad $(P),$ tales que la suma de los números $5 a_1, 5 a_2, \ldots, 5 a_{15}$ es un número con la propiedad $(P).$

Determinar todos los números naturales $m$ y $n$ tales que \[ n \cdot (n + 1) = 3^m + s(n) + 1182, \] donde $s(n)$ representa la suma de los dígitos del número natural $n$.

Decimos que un número natural se llama especial si todos sus dígitos son distintos de cero y dos dígitos adyacentes cualesquiera en su representación decimal son consecutivos (no necesariamente en orden ascendente). a) Determinar el mayor número especial $m$ cuya suma de dígitos es igual a $2023$. b) Determinar el menor número especial $n$ cuya suma de dígitos es igual a $2022$.

El número natural no nulo n es un cuadrado perfecto. Al dividir $2023$ por $n$, obtenemos el resto $223- \frac{3}{2} \cdot n$. Encuentra el cociente de la división.

En un grupo de $n$ personas, (i) cada persona conoce exactamente a $k$ otros, (ii) dos personas cualesquiera que se conocen tienen exactamente $l$ conocidos comunes, (iii) dos personas cualesquiera que no se conocen tienen exactamente $m$ conocidos comunes. Demuestre que $m(n-k -1) = k(k -l -1)$.

Sean $p,q$ números primos positivos y suponga que $q>5$. Demuestre que si $q \mid 2^{p}+3^{p}$, entonces $q>p$.

La distancia entre dos cualesquiera de seis puntos dados en el plano es al menos $1$. Demuestre que la distancia entre algunos dos puntos es al menos $\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}$

Para un conjunto $S$ de $n$ puntos, sean $d_1 > d_2 >... > d_k > ...$ las distancias entre los puntos. Una función $f_k: S \to N$ se llama función de coloración si, para cualquier par $M,N$ de puntos en $S$ con $MN \le d_k$, toma el valor $f_k(M)+ f_k(N)$ en algún punto. Demuestre que para cada $m \in N$ existen enteros positivos $n,k$ y un conjunto $S$ de $n$ puntos tales que toda función de coloración $f_k$ de $S$ satisface $| f_k(S)| \le m$

La secuencia $ (x_n)_{n \geq 1}$ está definida por: $ x_1=1$ $ x_{n+1}=\frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}$ Demuestre que $ (x_n)$ aumenta y $ [x_n^2]=n$.