3 Halle el máximo valor posible del inradio de un triángulo cuyos vértices se encuentran en el interior, o sobre la frontera, de un cuadrado unitario.

1 Halle el máximo valor posible del producto de enteros positivos distintos cuya suma es $2004$ .

2 Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ . Los puntos $A_{1} \not= A$ , $B_{1} \not= B$ y $C_{1} \not= C$ se encuentran, respectivamente, sobre las circunferencias circunscritas de $\triangle BCH$ , $\triangle CAH$ y $\triangle ABH$ y satisfacen $A_{1}H=B_{1}H=C_{1}H$ . Denótese por $H_{1}$ , $H_{2}$ y $H_{3}$ los ortocentros de $\triangle A_{1}BC$ , $\triangle B_{1}CA$ y $\triangle C_{1}AB$ , respectivamente. Demuestre que $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ y $\triangle H_{1}H_{2}H_{3}$ tienen el mismo ortocentro.

3 En cada celda de una tabla $n \times n$ se escribe un número de modo que todas las filas sean distintas. Demuestre que podemos eliminar una columna de manera que las filas de la nueva tabla sigan siendo distintas.

1 Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran sobre las diagonales $AC$ y $BD$ , respectivamente, de un cuadrilátero $ABCD$ tales que $\frac{AP}{AC} + \frac{BQ}{BD} =1$ . La recta $PQ$ corta a los lados $AD$ y $BC$ en los puntos $M$ y $N$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ , $BNQ$ , $DMQ$ y $CNP$ son concurrentes.

2 Las aristas de un grafo con $2n$ vértices ( $n \ge 4$ ) se colorean de azul y rojo de modo que no haya triángulo azul ni subgrafo completo rojo con $n$ vértices. Halle el menor número posible de aristas azules.

3 Demuestre que entre cualesquiera $2n+1$ números irracionales hay $n+1$ números tales que la suma de cualesquiera $k$ de ellos es irracional, para todo $k \in \{1,2,3,\ldots, n+1 \}$ .

1 Halle todos los $k>0$ tales que existe una función $f : [0,1]\times[0,1] \to [0,1]$ que satisface las siguientes condiciones: $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ ; $f(x,y) = f(y,x)$ ; $f(x,1)=x$ ; $f(zx,zy) = z^{k}f(x,y)$ , para cualesquiera $x,y,z \in [0,1]$

3 Se da una tabla con $m$ filas y $n$ columnas. En cada movimiento se eligen algunas celdas vacías tales que cualesquiera dos de ellas se encuentren en filas y columnas distintas, se coloca una ficha blanca en cada una de esas celdas y luego se coloca una ficha negra en las celdas cuyas filas y columnas contienen fichas blancas. El juego termina si no es posible hacer un movimiento. Halle el máximo número posible de fichas blancas que pueden colocarse en la tabla.

1 Corte $2003$ rectángulos disjuntos de un triángulo acutángulo $ABC$ , tales que cada uno de ellos tenga un lado paralelo a $AB$ y la suma de sus áreas sea máxima.