Decimos que un número natural $n$ es interesante si puede ser escrito en la forma \[ n = \left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1}{b} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1}{c} \right\rfloor, \] donde $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a + b + c = 1.$ Determinar todos los números interesantes. ( $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero no mayor que $x$ . )

Demostrar que: a) Hay infinitos pares $(x,y)$ de números reales del intervalo $[0,\sqrt{3}]$ que satisfacen la ecuación $x\sqrt{3-y^2}+y\sqrt{3-x^2}=3$ . b) No existen pares $(x,y)$ de números racionales del intervalo $[0,\sqrt{3}]$ que satisfacen la ecuación $x\sqrt{3-y^2}+y\sqrt{3-x^2}=3$ .

Consideramos números reales positivos $a,b,c$ tales que $a + b + c = 3.$ Demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 + a^2b + b^2 c + c^2 a \ge 6.$

a) Demostrar que existen números irracionales $a$ , $b$ , y $c$ tales que los números $a+b\cdot c$ , $b+a\cdot c$ , y $c+a\cdot b$ son números racionales. b) Demostrar que si $a$ , $b$ , y $c$ son números reales tales que $a+b+c=1$ , y los números $a+b\cdot c$ , $b+a\cdot c$ , y $c+a\cdot b$ son racionales y distintos de cero, entonces $a$ , $b$ , y $c$ son números racionales.

Consideramos el triángulo $ABC$ con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y $\angle ABC = 60^{\circ}.$ Sea $ D \in (AC) , E \in (AB),$ tal que $CD = 2 \cdot DA$ y $DE $ es bisectriz de $\angle ADB.$ Denotamos por $M$ la intersección de $CE$ y $BD$ , y por $P$ la intersección de $DE$ y $AM$ . a) Demostrar que $AM \perp BD$ . b) Demostrar que $3 \cdot PB = 2 \cdot CM$ .

En el paralelogramo $ABCD$ , $AC \cap BD = \{ O \}$ , y $M$ es el punto medio de $AB$ . Sea $P \in (OC)$ y $MP \cap BC = \{ Q \}$ . Dibujamos una línea paralela a $MP$ desde $O$ , que interseca la línea $CD$ en el punto $N$ . Demostrar que $A,N,Q$ son colineales si y solo si $P$ es el punto medio de $OC$ .

Para el número natural $n$ definimos \[ a_n = \{ \sqrt{n} \} - \{ \sqrt{n + 1} \} + \{ \sqrt{n + 2} \} - \{ \sqrt{n + 3} \}. \] a) Demostrar que $a_1 > 0,2$ . b) Demostrar que $a_n < 0$ para infinitos valores de $n$ y $a_n > 0$ para infinitos valores de números naturales de $n$ también. ( Denotamos por $\{ x \} $ la parte fraccionaria de $x.$ )

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y $\angle ACB = 54^{\circ}.$ Construimos la bisectriz $BD (D \in AC)$ del ángulo $ABC$ y consideramos el punto $E \in (BD)$ tal que $DE = DC.$ Demostrar que $BE = 2 \cdot AD.$

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número \[ N = \frac{1}{n \cdot (n + 1)} \] puede ser representado como una fracción decimal finita.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros que satisfacen simultáneamente las siguientes relaciones: \n\t\begin{align*} \n\t a^2 + a = b + c, \\ b^2 + b = a + c, \\ c^2 + c = a + b. \n\t\end{align*}