2 Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^{\circ}$. El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ en $D,E,F$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $\overline{EF}$. Sea $P$ la proyección de $A$ sobre $BC$ y sea $K$ la intersección de $MP$ y $AD$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AFE$ y $PDK$ tienen el mismo radio.

3 Sea $n$ un entero positivo. Sea $B_n$ el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud $n$. Para una cadena binaria $s_1\hdots s_n$, definimos su twist de la siguiente manera. Primero, contamos cuántos bloques de dígitos consecutivos tiene. Denotemos este número por $b$. Luego, reemplazamos $s_b$ con $1-s_b$. Se dice que una cadena $a$ es descendiente de $b$ si $a$ se puede obtener de $b$ mediante un número finito de twists. Un subconjunto de $B_n$ se llama dividido si no hay dos de sus miembros que tengan un descendiente común. Encuentra la cardinalidad máxima posible de un subconjunto dividido de $B_n$. Observación. Aquí hay un ejemplo de un twist: $101100 \rightarrow 101000$ porque $1\mid 0\mid 11\mid 00$ tiene $4$ bloques de dígitos consecutivos. Viktor Simjanoski

4 Sea $f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ una función tal que para todos los enteros positivos $x$ y $y$, el número $f(x)+y$ es un cuadrado perfecto si y solo si $x+f(y)$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que $f$ es inyectiva. Observación. Una función $f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es inyectiva si para todo par $(x,y)$ de enteros positivos distintos, se cumple $f(x)\neq f(y)$. Ivan Novak

1 Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ circunferencias que se intersecan en $A$ y $B$. La tangente común, más cercana a $A$, de $\omega_1$ y $\omega_2$ las toca en $P$ y $Q$ respectivamente. La tangente a $\omega_1$ en $A$ interseca a $\omega_2$ en $C$, que es distinto de $A$, y la extensión de $AP$ corta a la recta $QC$ en $D$. Sea $E$ el circuncentro de $ABD$. Las rectas $AD$ y $QE$ se intersecan en $F$. Demuestra que $F$ está sobre la circunferencia con diámetro $PQ$ (Propuesto por Steve Vo Dinh, Vietnam).

2 Sea $n$ un entero positivo. Divide un triángulo equilátero de lado $n$ en triángulos equiláteros de lado uno. Aquí hay un ejemplo que se muestra abajo para $n = 4$: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/d/c323d11985fbd3748faad62f0d335ef19bf404.png Etiqueta los pequeños triángulos equiláteros por los que pasa una de las alturas del triángulo equilátero grande como $a_1$, $a_2$, $...$, $a_n$ (mira la ilustración de arriba para ver cómo hacerlo en el caso de $n = 4$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/9/e8e1f4c98fcec1ac627ce5af05522d4327ade9.png Sea $f(i)$ el número de maneras de embaldosar el triángulo equilátero grande usando exactamente uno de cada uno tal que el triángulo $a_i$ se elimina. $\bullet$ Si $n$ es par, determina $f(2) + f(4) + ... + f(2k) + ...+ f(n)$. $\bullet$ Demuestra que $f(1) + f(2) + ... + f(n) \ge 2^{n-2}$, para todos los enteros positivos $n$. (Karlo Jokos)

3 Encuentra el mayor entero positivo $n$ para el cual existen enteros positivos $a,q$ tales que $$q^6 \leq n \text{ y } |\sqrt{2}-\frac{a}{q}| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} $$ (Propuesto por Miroslav Marinov, Bulgaria)

4 Encuentra todos los enteros positivos \( n \) con la siguiente propiedad: Para todo entero positivo \( d \) que divide a \( n \), existe un entero positivo \( k \) que divide a \( n \) tal que $$d + n \mid dn + k.$$ (Ivan Novak)

Sea $k \ge 2$ un entero. Sean $m$ y $n$ enteros positivos coprimos con exactamente $k$ divisores positivos tales que $m < n$. Para $i \in \{1, \ldots, k\}$, denota por $f_i$ y $d_i$ el $i$-ésimo divisor más pequeño de $m$ y $n$, respectivamente. Supón que \[ d_i - f_i \mid n - m \] para todo $i \in \{2, \ldots, k\}$. Demuestra que $d_i \ge f_i$ para todo $i \le \frac{k}{2}$.

2 Sea $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de los enteros positivos) una función tal que para todo entero positivo $k$, el conjunto \[ \{f(1), f(2), \ldots, f(k)\} \] contiene exactamente $f(f(k))$ elementos. Demuestra que \[ f(f(f(k))) = f(k) \] para todo entero positivo $k$. Ivan Novak

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea la bisectriz del ángulo $\angle B$ que interseca a $AC$, $\omega$, y la recta por $C$ paralela a $AB$ en $D$, $E$, y $F$ respectivamente. Sea $X$ la intersección de $\omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $DCF$, y sea $Y$ un punto sobre $CF$ tal que $YF = YD$. La recta $XF$ interseca a $\omega$ y a $DY$ en $T$ y $P$ respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle TDE$ corta a las rectas $PF$ y $EY$ en $R$ y $S$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $\triangle PRS$ y $\triangle BDC$ son internamente tangentes. Yasser Merabet