Determinar las funciones dos veces diferenciables $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que verifican la relación \[ \left( f'(x) \right)^2 + f''(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}. \]

En un museo de arte, se exhiben $n$ pinturas, donde $n \geq 33.$ En total, se utilizan $15$ colores para estas pinturas, de modo que dos pinturas cualesquiera tienen al menos un color en común, y no dos pinturas tienen exactamente los mismos colores. Determinar todos los valores posibles de $n \geq 33$ tales que, independientemente de cómo coloreemos las pinturas con las propiedades dadas, podemos elegir cuatro pinturas distintas, que podemos etiquetar como $T_1, T_2, T_3,$ y $T_4,$ tales que cualquier color que se utilice tanto en $T_1$ como en $T_2$ también se puede encontrar en $T_3$ o $T_4$ .

Consideramos el triángulo $ABC$ y los puntos variables $M$ en la semirrecta $BC$ , $N$ en la semirrecta $CA$ , y $P$ en la semirrecta $AB$ , cada uno comienza simultáneamente desde $B,C$ y respectivamente $A$ , moviéndose con velocidades constantes $ v_1, v_2, v_3 > 0 $ , donde $v_1$ , $v_2$ , y $v_3$ se expresan en la misma unidad de medida. a) Dado que existen tres momentos distintos en los que el triángulo $MNP$ es equilátero, demostrar que el triángulo $ABC$ es equilátero y que $v_1 = v_2 = v_3$ . b) Demostrar que si $v_1 = v_2 = v_3$ y existe un momento en el que el triángulo $MNP$ es equilátero, entonces el triángulo $ABC$ también es equilátero.

Determinar el mayor número natural $k$ tal que existe un número natural $n$ que satisface: \[ \sin(n + 1) < \sin(n + 2) < \sin(n + 3) < \ldots < \sin(n + k). \]

Resolver la siguiente ecuación para valores reales de $x$ : \[ 2 \left( 5^x + 6^x - 3^x \right) = 7^x + 9^x. \]

Sean $r$ y $s$ números reales en el intervalo $[1, \infty)$ tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ con $a \mid b \implies \left\lfloor ar \right\rfloor$ divide a $\left\lfloor bs \right\rfloor$ . a) Demostrar que $\frac{s}{r}$ es un número natural. b) Demostrar que tanto $r$ como $s$ son números naturales. Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x$ .

Sea $n \geq 2$ un número natural. Consideramos una tabla de $(2n - 1) \times (2n - 1)$. Ana y Bob juegan el siguiente juego: comenzando con Ana, los dos colorean alternativamente los vértices de los cuadrados unitarios, Ana con rojo y Bob con azul, en $2n^2$ rondas. Luego, comenzando con Ana, cada uno forma un vector con origen en un punto rojo y terminando en un punto azul, lo que resulta en $2n^2$ vectores con orígenes y puntos finales distintos. Si la suma de estos vectores es cero, Ana gana. De lo contrario, Bob gana. Demostrar que Bob tiene una estrategia ganadora.

Determinar las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$ con la propiedad de que \[ f(f(x)) + y \cdot f(x) \le x + x \cdot f(f(y)), \] para todo $x$ e $y$ que son números reales.

Consideramos la ecuación $x^2 + (a + b - 1)x + ab - a - b = 0$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos con $a \leq b$ . a) Demostrar que la ecuación tiene $2$ soluciones reales distintas. b) Probar que si una de las soluciones es un entero, entonces ambas soluciones son enteros no positivos y $b < 2a.$

Sea $ABCD$ un tetraedro y $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $BD$ , respectivamente. Demostrar que para cada punto $P \in (MN)$ con $P \neq M$ y $P \neq N$ , existen puntos únicos $X$ e $Y$ en los segmentos $AB$ y $CD$ , respectivamente, tales que $X,P,Y$ son colineales.