Sean $x$, $y$, $z>0$. Demostrar que : $$\frac{x^3}{z^3+x^2y}+\frac{y^3}{x^3+y^2z}+\frac{z^3}{y^3+z^2x} \geq \frac{3}{2}$$

Encontrar el entero positivo más pequeño $n$ tal que si coloreamos de rojo $n$ vértices arbitrarios del cubo, habrá un vértice del cubo que tenga los tres vértices adyacentes a él coloreados de rojo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$. Sea también $M$ el punto medio del lado $BC$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, $O_1$ el punto medio del segmento $AH$ y $O_2$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $BCH$. Demostrar que $O_1AMO_2$ es un paralelogramo.

Sea $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función no decreciente, $f \in C^1,$ para la cual $f(0) = 0.$ Sea $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida por \[ g(x) = f(x) + (x - 1) f'(x), \forall x \in [0,1]. \] a) Demostrar que \[ \int_{0}^{1} g(x) \text{dx} = 0. \] b) Demostrar que para todas las funciones $\phi :[0,1] \rightarrow [0,1],$ convexas y diferenciables con $\phi(0) = 0$ y $\phi(1) = 1,$ se cumple la desigualdad \[ \int_{0}^{1} g( \phi(t)) \text{dt} \leq 0. \]

Sean $a,b \in \mathbb{R}$ con $a < b,$ 2 números reales. Decimos que $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ tiene la propiedad $(P)$ si existe una función integrable en $[a,b]$ con la propiedad de que \[ f(x) - f \left( \frac{x + a}{2} \right) = f \left( \frac{x + b}{2} \right) - f(x) , \forall x \in [a,b]. \] Demostrar que para todo número real $t$ existe una función única $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ con la propiedad $(P),$ tal que $\int_{a}^{b} f(x) \text{dx} = t.$

Sea $p$ un número primo, $n$ un número natural que no es divisible por $p$ , y $\mathbb{K}$ un campo finito, con $char(K) = p, |K| = p^n, 1_{\mathbb{K}}$ elemento unidad y $\widehat{0} = 0_{\mathbb{K}}.$ Para cada $m \in \mathbb{N}^{*}$ notamos $ \widehat{m} = \underbrace{1_{\mathbb{K}} + 1_{\mathbb{K}} + \ldots + 1_{\mathbb{K}}}_{m \text{ veces}} $ y definimos el polinomio \[ f_m = \sum_{k = 0}^{m} (-1)^{m - k} \widehat{\binom{m}{k}} X^{p^k} \in \mathbb{K}[X]. \] a) Demostrar que las raíces de $f_1$ son $ \left\{ \widehat{k} | k \in \{0,1,2, \ldots , p - 1 \} \right\}$ . b) Sea $m \in \mathbb{N}^{*}.$ Determinar el conjunto de raíces de $\mathbb{K}$ del polinomio $f_{m}.$

Sea $(G, \cdot)$ un grupo finito con orden $n \in \mathbb{N}^{*},$ donde $n \geq 2.$ Diremos que el grupo $(G, \cdot)$ es ordenable si existe una ordenación de sus elementos, tal que \[ G = \{ a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots , a_n \} = \{ a_1 \cdot a_2, a_2 \cdot a_3, \ldots, a_k \cdot a_{k + 1}, \ldots , a_{n} \cdot a_1 \}. \] a) Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales el grupo $(Z_n, +)$ es ordenable. b) Dar un ejemplo de un grupo de orden par que es ordenable.

Consideramos una función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para la cual existe una función diferenciable $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y existe una secuencia $(a_n)_{n \geq 1}$ de números reales positivos, convergente a $0,$ tal que \[ g'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x + a_n) - f(x)}{a_n}, \forall x \in \mathbb{R}. \] a) Dar un ejemplo de tal función f que no es diferenciable en ningún punto $x \in \mathbb{R}.$ b) Demostrar que si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ , entonces $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}.$

Sea $n$ un número natural $n \geq 2$ y matrices $A,B \in M_{n}(\mathbb{C}),$ con la propiedad $A^2 B = A.$ a) Demostrar que $(AB - BA)^2 = O_{n}.$ b) Demostrar que para todo número natural $k$ , $k \leq \frac{n}{2}$ existen matrices $A,B \in M_{n}(\mathbb{C})$ con la propiedad establecida en el problema tales que $rank(AB - BA) = k.$

Sean $A,B \in M_{n}(\mathbb{R}).$ Demostrar que $rank(A) = rank(B)$ si y solo si existen matrices no singulares $X,Y,Z \in M_{n}(\mathbb{R})$ tales que \[ AX + YB = AZB. \]