8.4 En un hexágono convexo $ABCDEF$ se cumplen las igualdades $\angle ABC= \angle CDE= \angle EFA$ , y las bisectrices de los ángulos $ABC$ , $CDE$ y $EFA$ se intersecan en un punto. Los rayos $AB$ y $DC$ se intersecan en $P$ , los rayos $BC$ y $ED$ en $Q$ , los rayos $CD$ y $FE$ en $R$ , y los rayos $DE$ y $AF$ en $S$ . Demuestre que $PR=QS$ . M. Zorka

9 Sean $a, b, c$ números positivos con $\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c = \frac{\sqrt 3}{2}$ . Demuestre que el sistema de ecuaciones \[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1,\] \[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1,\] \[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\] tiene exactamente una solución $(x, y, z)$ en números reales. Amir

5 Hay $2n$ personas ( $n \ge 2$ ) sentadas alrededor de una mesa redonda, donde cada persona conoce a sus dos vecinos y exactamente frente a él se sienta una persona a la que no conoce. Demuestre que las personas pueden reacomodarse de tal manera que cada uno conozca a uno de sus dos vecinos.

34 (a) Sea $\gcd(m, k) = 1$ . Demuestre que existen enteros $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ tales que cada producto $a_ib_j$ ( $i = 1, 2, \cdots ,m; \ j = 1, 2, \cdots, k$ ) da un residuo distinto al dividirlo por $mk.$ (b) Sea $\gcd(m, k) > 1$ . Demuestre que para cualesquiera enteros $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ deben existir dos productos $a_ib_j$ y $a_sb_t$ ( $(i, j) \neq (s, t)$ ) que den el mismo residuo al dividirlos por $mk.$ Propuesto por Hungría. Amir

B6 Demuestra que existe una cantidad infinita de pares ordenados $(a,b)$ de enteros tales que para todo entero positivo $t$, el número $at+b$ es un número triangular si y solo si $t$ es un número triangular. (Los números triangulares son los $t_n = n(n+1)/2$ con $n$ en $\{0,1,2,\dots\}$.)

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sea $l$ una recta. Sea $l$ que interseca a las rectas $AB,CD,BC,DA,AC,BD$ en los puntos $X,X',Y,Y',Z,Z'$ respectivamente. Dado que estos seis puntos sobre $l$ están en el orden $X,Y,Z,X',Y',Z'$ , demuestre que los círculos con diámetro $XX',YY',ZZ'$ son coaxiales.

3 Considera el cubo \(ABCDA'B'C'D'\) (donde \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas \(AA', BB', CC', DD'\) son paralelas). El punto \(X\) se mueve a velocidad constante a lo largo del perímetro del cuadrado \(ABCD\) en la dirección \(ABCDA\), y el punto \(Y\) se mueve a la misma velocidad a lo largo del perímetro del cuadrado \(B'C'CB\) en la dirección \(B'C'CBB'\). Los puntos \(X\) y \(Y\) comienzan su movimiento al mismo instante desde las posiciones iniciales \(A\) y \(B'\), respectivamente. Determina y dibuja el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \(XY\).

3 Los números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ satisfacen $1=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots. b_1,b_2,b_3,\ldots$ se definen por $b_n=\sum_{k=1}^n{1-{a_{k-1}\over a_k}\over\sqrt a_k}$ . a.) Demuestre que $0\le b_n<2$ . b.) Dado $c$ que satisface $0\le c<2$ , demuestre que podemos encontrar $a_n$ de modo que $b_n>c$ para todo $n$ suficientemente grande.

3 Sea $a = 1976$. ¿Para qué valores de $n$ el siguiente sistema de ecuaciones tiene solo la solución trivial? \[ \begin{cases} \cos^2\dfrac{a}{2} \cdot x_1 + \sin^2 \dfrac{a}{2} \cdot x_2 + \sin^2\dfrac{a}{2} \cdot x_3 + \cdots+\sin^2 \dfrac{a}{2} \cdot x_n = 0 \\ \cos^2a \cdot x_1 + \cos^2 a\cdot x_2 + \sin^2a \cdot x_3 + \cdots+\sin^2a \cdot x_n = 0 \\ \cos^2\dfrac{3a}{2} \cdot x_1 + \cos^2 \dfrac{3a}{2} \cdot x_2 + \cos^2\dfrac{3a}{2} \cdot x_3 + \cdots +\sin^2 \dfrac{3a}{2} \cdot x_n = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \cos^2\dfrac{na}{2} \cdot x_1 + \cos^2 \dfrac{na}{2} \cdot x_2 + \cos^2\dfrac{na}{2} \cdot x_3 + \cdots+ \cos^2 \dfrac{na}{2} \cdot x_n = 0 \end{cases} \]

2 Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño del triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ cortan a la recta $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las rectas $ BV$ y $ CW$ se cortan en $ T$ . Demuestre que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos distintos $ A,B,C,D$ sobre una circunferencia $ \Gamma$ tales que el triángulo $ BCD$ no sea rectángulo. Demuestre que: (a) Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ cortan a la recta $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las rectas $ CV$ y $ BW$ se cortan en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos $ AD, BT,$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos. Valentin