3 Si $BK$ es la bisectriz del $\angle ABC$ en el triángulo $ABC$, halle los ángulos del triángulo $ABC$ si $BK=KC=2AK$

4 Halle todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$(2p-q)^2=17p-10q$$

5 ¿Cuántos números de $4$ dígitos tienen dos dígitos impares y dos dígitos pares?

Encuentra todos los polinomios \( P(x, y) \) con coeficientes reales tales que para todo par de números reales \( x, y > 1404 \), se cumple: \[ P(\{x\}, \{y\}) = \{P(x, y)\}, \] donde \( \{x\} \) denota la parte fraccionaria de \( x \). Propuesto por Mojtaba Zare

Encuentra todos los polinomios \( P(x) \in \mathbb{R}[x] \) de grado 1404 y todas las funciones \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) tales que para todo \( z \in \mathbb{C} \) y todo \( a \in \mathbb{R} \), se cumple: \[ f(z) = f(P(z) + a) \cdot f(|z| + a). \] Propuesto por Mojtaba Zare

Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para cualesquiera tres números reales positivos \( a, b, c \) que satisfacen: \[ 3(ab + bc + ac) > a^2 + b^2 + c^2, \] se cumple: \[ 3(af(b) + bf(c) + cf(a)) > f(a)^2 + f(b)^2 + f(c)^2 \geq af(b) + bf(c) + cf(a). \] Propuesto por Mojtaba Zare Versión más fuerte: Sea \( \lambda>1 \) un número real fijo. Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para cualesquiera tres números reales positivos \( a, b, c \) que satisfacen: \[ \lambda(ab + bc + ac) > a^2 + b^2 + c^2, \] se cumple: \[ \lambda(af(b) + bf(c) + cf(a)) > f(a)^2 + f(b)^2 + f(c)^2 \geq af(b) + bf(c) + cf(a). \]

1 Jugar al fútbol con 3 funciona así: 2 jugadores de campo intentan marcar un gol al portero; el que marca el gol se pone de portero para el siguiente juego, etc. Arne, Bart y Cauchy jugaron este juego. Después, le dicen a su profesor de matemáticas que A estuvo 12 veces en el campo, B 21 veces en el campo, C 8 veces en el arco. Su profesor sabe quién hizo el sexto gol. ¿Quién lo hizo?

1 Halle todos los números primos $p_1,…,p_n$ (no necesariamente distintos) tales que : $$ \prod_{i=1}^n p_i=10 \sum_{i=1}^n p_i$$

2 Sea $\left ( a_{n} \right )_{n \geq 1}$ una sucesión creciente de enteros positivos tal que $a_1=1$ , y para todo entero positivo $n$ , $a_{n+1}\leq 2n$ . Demuestre que para todo $n$ positivo ; existen enteros positivos $p$ y $q$ tales que $n=a_{p}-a_{q}$ .

3 Sean $a_1,…,a_n$ números reales tales que $a_1+…+a_n=0$ y $|a_1|+…+|a_n|=1$ . Demuestre que : $$|a_1+2a_2+…+na_n| \leq \frac{n-1}{2}$$