Los vértices de un $n$-gono regular están inicialmente marcados con uno de los signos $+$ o $-$. Un movimiento consiste en elegir tres vértices consecutivos y cambiar los signos de los vértices, de $+$ a $-$ y de $-$ a $+$. a) Demostrar que si $n=2015$ entonces para cualquier configuración inicial de signos, existe una secuencia de movimientos tal que llegaremos a una configuración con sólo signos $+$. b) Demostrar que si $n=2016$, entonces existe una configuración inicial de signos tal que no importa cómo hagamos los movimientos, nunca llegaremos a una configuración con sólo signos $+$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AB \neq AC$ y denotemos su ortocentro por $H$. El punto $D$ está situado en el lado $BC$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ACD$ intersecan por segunda vez las líneas $AC$, respectivamente $AB$ en los puntos $E$ respectivamente $F$. Si denotamos por $P$ el punto de intersección de $BE$ y $CF$ entonces demostrar que $HP \parallel BC$ si y sólo si $AD$ pasa por el circuncentro del triángulo $ABC$.

Encontrar todas las ternas de números reales $(x , y , z)$ tales que : $y=\frac{x^3+12x}{3x^2+4}$ , $z=\frac{y^3+12y}{3y^2+4}$ , $x=\frac{z^3+12z}{3z^2+4}$

Definir el conjunto $M_q=\{x \in \mathbb{Q} \mid x^3-2015x=q \}$, donde $q$ es un número racional arbitrario. a) Demostrar que existen valores para $q$ tales que el conjunto es nulo, así como valores para los que tiene exactamente un elemento. b) Determinar todos los valores posibles para la cardinalidad de $M_q$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq BC$ y sea $BD$ la bisectriz interior de $\angle ABC$ con $D \in AC$. Sea $M$ el punto medio del arco $AC$ que contiene el punto $B$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. La circunferencia circunscrita del triángulo $BDM$ interseca el segmento $AB$ en $K \neq B$. Denotemos por $J$ el simétrico de $A$ con respecto a $K$. Si $DJ$ interseca a $AM$ en $O$ entonces demostrar que $J,B,M,O$ son concíclicos.

¿Podemos particionar los enteros positivos en dos conjuntos de manera que ninguno de los conjuntos contenga una progresión aritmética infinita de razón no nula?

Sean $a,b,c>0$ tales que $a \geq bc^2$, $b \geq ca^2$ y $c \geq ab^2$. Encontrar el valor máximo que la expresión : $$E=abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)$$ puede alcanzar.

Encontrar todos los enteros positivos $N$ con un número par de dígitos con la propiedad de que si multiplicamos los dos números formados al cortar el número por la mitad obtenemos un número que es un divisor de $N$ (por ejemplo, $12$ funciona porque $1 \cdot 2$ divide a $12$).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales no perpendiculares y con los lados $AB$ y $CD$ no paralelos. Denotemos por $O$ la intersección de las diagonales, $H_1$ el ortocentro del triángulo $AOB$ y $H_2$ el ortocentro del triángulo $COD$. Denotemos también con $M$ el punto medio del lado $AB$ y con $N$ el punto medio del lado $CD$. Demostrar que $H_1H_2$ y $MN$ son paralelos si y sólo si $AC=BD$

Resolver en enteros no negativos la siguiente ecuación : $$21^x+4^y=z^2$$