Determinar todos los enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: para cada polinomio mónico $P$ de grado a lo sumo $n$ con coeficientes enteros, existe un entero positivo $k\le n$ y $k+1$ enteros distintos $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}$ tales que\n\[P(x_1)+P(x_2)+\cdots +P(x_k)=P(x_{k+1})\] .\nNota. Un polinomio es mónico si el coeficiente de la potencia más alta es uno.

Probar que todo entero positivo $n$ puede ser escrito de forma única como\n\[n=\sum_{j=1}^{2k+1}(-1)^{j-1}2^{m_j},\]\ndonde $k\geq 0$ y $0\le m_1<m_2\cdots <m_{2k+1}$ son enteros. Este número $k$ es llamado el peso de $n$. (b) Encontrar (en forma cerrada) la diferencia entre el número de enteros positivos a lo sumo $2^{2017}$ con peso par y el número de enteros positivos a lo sumo $2^{2017}$ con peso impar.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ y $P$ un punto en su interior. Las rectas $AP,BP$ y $CP$ intersecan la circunferencia $\omega$ por segunda vez en $D,E$ y $F,$ respectivamente. Si $A',B',C'$ son las reflexiones de $A,B,C$ con respecto a las rectas $EF,FD,DE,$ respectivamente, demostrar que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son similares.

Demostrar que si $a,b,c>0$ y $a+b+c=1,$ entonces $$\frac{bc+a+1}{a^2+1}+\frac{ca+b+1}{b^2+1}+\frac{ab+c+1}{c^2+1}\leq \frac{39}{10}$$

Dos jugadores, $A$ y $B,$ toman alternativamente piedras de un montón de $n \geq 2$ piedras. $A$ juega primero y en su primer movimiento debe tomar al menos una piedra y a lo sumo $n-1$ piedras. Entonces cada jugador debe tomar al menos una piedra y a lo sumo tantas piedras como su oponente tomó en el movimiento anterior. El jugador que toma la última piedra gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Demostrar que el número $1$ se puede representar como una suma de un número finito $n$ de números reales, menores que $1,$ no necesariamente distintos, que contienen en su representación decimal sólo los dígitos $0$ y/o $7.$ ¿Cuál es el menor número posible $n$ ?

Tenemos $n$ enteros $a_1, a_2,. . . , a_n$ , no necesariamente distintos, con suma $2S.$ Un entero $k$ se llama separador si $k$ de los números se pueden elegir con suma igual a $S.$ ¿Cuál es el número máximo posible de separadores?

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \ne AC$ y $ I$ su incentro. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ y $D$ la proyección de $I$ sobre $BC.$ La recta $AI$ interseca la circunferencia con centro $M$ y radio $MD$ en $P$ y $Q.$ Demostrar que $\angle BAC + \angle PMQ = 180^{\circ}.$

Resolver en $\Bbb{N}^*$ la ecuación $$ 4^a \cdot 5^b - 3^c \cdot 11^d = 1.$$

Sea $n\in \Bbb{N}, n \geq 4.$ Determine todos los conjuntos $ A = \{a_1, a_2, . . . , a_n\} \subset \Bbb{N}$ que contienen $2015$ y que tienen la propiedad de que $ |a_i - a_j|$ es primo, para todos los distintos $i, j\in \{1, 2, . . . , n\}.$