7 $S_{1},S_{2},S_{3}$ son tres esferas en $\mathbb R^{3}$ cuyos centros no son colineales. $k\leq8$ es el número de planos que son tangentes a las tres esferas. $A_{i},B_{i},C_{i}$ son los puntos en que el $i$ -ésimo plano toca a las esferas $S_{1},S_{2},S_{3}$ . Sea $O_{i}$ el circuncentro de $A_{i}B_{i}C_{i}$ . Demuestre que los $O_{i}$ son colineales. Omid

8 Llamamos a $A_{1},A_{2},A_{3}$ «mangool» si existe una permutación $\pi$ tal que $A_{\pi(2)}\not\subset A_{\pi(1)},A_{\pi(3)}\not\subset A_{\pi(1)}\cup A_{\pi(2)}$ . Una familia buena es una familia de subconjuntos finitos de $\mathbb N$ como $X,A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ . A cada familia buena le asociamos un grafo con vértices $\{A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\}$ . Unimos $A_{i},A_{j}$ si y solo si $X,A_{i},A_{j}$ son conjuntos mangool. Halle todos los grafos para los cuales existe una familia buena que le corresponda. Omid

9 $\pi(n)$ es el número de primos que no superan a $n$ . Para $n=2,3,4,6,8,33,\dots$ se tiene $\pi(n)|n$ . ¿Existen infinitos enteros $n$ tales que $\pi(n)|n$ ? Omid

10 Suponga que de un rectángulo $(m+2)\times(n+2)$ recortamos las $4$ esquinas de $1\times1$ . Ahora, en la primera y la última fila y en la primera y la última columna escribimos $2(m+n)$ números reales. Demuestre que podemos llenar el rectángulo interior $m\times n$ con números reales de modo que cada número sea el promedio de sus $4$ vecinos. Omid

11 Un cubo $10\times10\times10$ tiene $1000$ cubos unitarios. $500$ de ellos están coloreados de negro y $500$ de ellos están coloreados de blanco. Demuestre que hay al menos $100$ cuadrados unitarios que son cara común de un cubo unitario blanco y uno negro. Omid

1 Se da la sucesión $(a_n)_{n\geq 0}$ definida como sigue: $a_0=3$ y $a_{n+1}-a_n=n(a_n-1) \ , \ \forall n\geq 0$ . Determine todos los enteros positivos $m$ tales que $\gcd (m,a_n)=1 \ , \ \forall n\geq 0$ .

12 Llamamos cuadrática a una permutación $ \left(a_1, a_2, ..., a_n\right)$ de $ \left(1, 2, ..., n\right)$ si existe al menos un cuadrado perfecto entre los números $ a_1$ , $ a_1 + a_2$ , $ ...$ , $ a_1 + a_2 + ... + a_n$ . Halle todos los números naturales $ n$ tales que todas las permutaciones de $ S_n$ sean cuadráticas. Observación. $ S_{n}$ denota el $ n$ -ésimo grupo simétrico, el grupo de las permutaciones de $ n$ elementos.

13 Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca al lado $BC$ en $A^{\prime}$ , y la recta $AA^{\prime}$ corta de nuevo a la circunferencia inscrita en un punto $P$ . Las rectas $CP$ y $BP$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ en $N$ y $M$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $AA^{\prime}$ , $BN$ y $CM$ son concurrentes.

1 si $a$, $b$ y $c$ son números reales tales que $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$, demuestra la igualdad: $\frac{b^2c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2b^2}{(c-a)(c-b)}=ab+bc+ca$

2 Determina todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que los conjuntos $\{a^2-4c, b^2-2a, c^2-2b \}$ y $\{a-c,b-4c,a+b\}$ son iguales y $2a+2b+6=5c$. En cada conjunto todos los elementos son distintos por pares.