1 En un alfabeto de $n$ letras, una $sílaba$ es cualquier par ordenado de dos letras (no necesariamente distintas). Algunas sílabas se consideran $indecentes$. Una $palabra$ es cualquier secuencia, finita o infinita, de letras, que no contenga sílabas indecentes. Encuentra el menor número posible de sílabas indecentes para el cual no existan palabras infinitas.

2 círculos $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. La recta que contiene sus centros corta a $\Omega$ y $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, de modo que estos puntos están del mismo lado de la recta $AB$ y el punto $Q$ está más cerca de $AB$ que el punto $P$. El círculo $\delta$ está del mismo lado de la recta $AB$ que $P$ y $Q$, toca el segmento $AB$ en el punto $D$ y toca a $\Gamma$ en el punto $T$. La recta $PD$ corta de nuevo a $\delta$ y a $\Omega$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que $\angle QTK=\angle DTL$.

Sea $d$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Para cada entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de dígitos $1$ entre los primeros $n$ dígitos de la representación binaria de $\sqrt{d}$ (incluyendo los dígitos antes del punto). Demuestra que existe un entero $A$ tal que $s(n)>\sqrt{2n}-2$ para todos los enteros $n\ge A$.

Se dan 10 números reales positivos distintos y se escribe la suma de cada par (así que 45 sumas). Entre estas sumas hay 5 números iguales. Si calculamos el producto de cada par, encuentra el mayor número $k$ tal que pueda haber $k$ números iguales entre ellos.

1 Encuentra el mayor entero $k$ con la siguiente propiedad: Siempre que los números reales $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ satisfagan \[x_1^2=(x_1+x_2)^2=\dots=(x_1+x_2+\dots+x_{2024})^2,\] al menos $k$ de ellos son iguales.

6 Sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Encuentra el mayor $\alpha$ tal que existe un triángulo para el cual hay al menos tres ángulos entre $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ que son $\geq \alpha$.

5 Tenemos una tabla de $m\times n$ recubierta con franjas de $3\times 1$ y sabemos que $6 | mn$. Demuestra que existe un recubrimiento de la tabla con dominós de $2\times 1$ tal que cada una de esas franjas contiene un dominó completo.

1 Determina todos los números enteros $x, y$ y $n$ tales que: $$3 (x^n - y^n) = 1977$$

4 Sea $p$ un número primo fijo. Encuentra todos los enteros $n \ge 1$ con la siguiente propiedad: Se pueden emparejar los divisores positivos de $n$ en pares $(d,d')$ que cumplan $d<d'$ y $p \mid \left\lfloor \frac{d'}{d}\right\rfloor$.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circunferencia circunscrita y $O$ su circuncentro. La altura desde $A$ interseca a $\omega$ en un punto $D \ne A$ y el segmento $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita de $OCD$ en un punto $E \ne C$. Finalmente, sea $M$ el punto medio de $BE$. Muestra que $DE$ es paralelo a $OM$.