1 Cinco hombres y nueve mujeres se colocan igualmente espaciados alrededor de una circunferencia en orden aleatorio. La probabilidad de que cada hombre esté diametralmente opuesto a una mujer es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halle $m+n.$

10 Existe un único entero positivo $a$ para el cual la suma \[U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor\] es un entero estrictamente comprendido entre $-1000$ y $1000$ . Para ese único $a$ , halle $a+U$ . (Nótese que $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ . )

11 Halle el número de subconjuntos de ${1,2,3,...,10}$ que contienen exactamente un par de enteros consecutivos. Ejemplos de tales subconjuntos son ${1,2,5}$ y ${1,3,6,7,10}$ .

12 Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero de lado $55$ . Los puntos $D$ , $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente, con $BD=7$ , $CE=30$ y $AF=40$ . Un punto único $P$ en el interior de $\triangle ABC$ tiene la propiedad de que \[\measuredangle AEP=\measuredangle BFP=\measuredangle CDP.\] Halle $\tan^{2}\left(\measuredangle AEP\right)$ .

4 La suma de todos los enteros positivos $m$ para los cuales $\tfrac{13!}{m}$ es un cuadrado perfecto puede escribirse como $2^{a}3^{b}5^{c}7^{d}11^{e}13^{f}$ , donde $a, b, c, d, e,$ y $f$ son enteros positivos. Halle $a+b+c+d+e+f$ .

6 Alice sabe que se le mostrarán $3$ cartas rojas y $3$ cartas negras una a la vez en orden aleatorio. Antes de que se revele cada carta, Alice debe adivinar su color. Si Alice juega de manera óptima, el número esperado de cartas que adivinará correctamente es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halle $m+n$ .

5 Sea $P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita del cuadrado $ABCD$ tal que $PA \cdot PC = 56$ y $PB \cdot PD = 90.$ ¿Cuál es el área del cuadrado $ABCD?$ rohan.sp

7 Se dice que un entero positivo $n$ es extra-distinto si los restos de dividir $n$ entre $2, 3, 4, 5,$ y $6$ son distintos. Halle el número de enteros positivos extra-distintos menores que $1000$ .

3 Un plano contiene $40$ rectas, de las cuales no hay $2$ paralelas. Suponga que hay $3$ puntos donde se intersecan exactamente $3$ rectas, $4$ puntos donde se intersecan exactamente $4$ rectas, $5$ puntos donde se intersecan exactamente $5$ rectas, $6$ puntos donde se intersecan exactamente $6$ rectas, y ningún punto donde se intersequen más de $6$ rectas. Halle el número de puntos donde se intersecan exactamente $2$ rectas.

2 Si $\sqrt{\log_bn}=\log_b\sqrt n$ y $b\log_bn=\log_bbn,$ entonces el valor de $n$ es igual a $\frac jk,$ donde $j$ y $k$ son coprimos. ¿Cuánto vale $j+k$ ?