8.4 Alrededor de un círculo se escriben $n$ números reales distintos. Para cada número escrito $x$ , contamos la cantidad de números entre $x$ y el número más cercano a él en el sentido de las agujas del reloj que no exceden a $x$ (por ejemplo, para el número escrito más pequeño el conteo resultante es $n-1$ , y para el número más grande es cero). ¿Cuál es el valor máximo posible de la suma de todos los números obtenidos?

8.5 Unos amigos decidieron llenar dos piscinas. Para ello usaron $4$ mangueras: $2$ mangueras de tipo $A$ con un caudal, y $2$ mangueras de tipo $B$ con otro caudal. Exactamente a las $10{:}00$ colocaron las mangueras de tipo $A$ en la primera piscina y las mangueras de tipo $B$ en la segunda piscina y abrieron el agua. Después de algún tiempo notaron que había una vez y media más agua en la primera piscina que en la segunda, y movieron una manguera de la primera piscina a la segunda. A las $13{:}00$ uno de los amigos notó que ahora había una vez y media más agua en la segunda piscina que en la primera. ¿A qué hora movieron los amigos la manguera a la segunda piscina?

8.6 En un pentágono convexo $ABCDE$ , el ángulo en el vértice $C$ es igual a la suma de los ángulos en los vértices $A$ y $E$ . Además, $AB = CD$ y $BC = DE$ . El punto $M$ es el punto medio del lado $AE$ . Demuestre que el ángulo $BMD$ es un ángulo recto.

8.7 Sea $n > 1$ un número natural dado. Sea $a$ el divisor más pequeño de $n$ mayor que $1$ , y $b$ el divisor más grande de $n$ menor que $n$ . Se sabe que el número $a^3 - a$ es divisible por $b$ . Halle todos los valores posibles de $n$ .

8.8 En cada vértice de un cubo se escribe un número natural de modo que hay exactamente $M$ aristas para las cuales la suma de los números escritos en sus extremos es divisible por tres. ¿Se puede afirmar que debe existir una cara para la cual la suma de los números escritos en sus vértices es divisible por tres, si a) $M = 6?$ b) $M = 7?$

9.1 Sobre el diámetro $AB$ de una circunferencia $\omega$ se marca un punto $C$ . En la circunferencia $\omega$ se eligen los puntos $D$ y $E$ situados en el mismo semiplano respecto de la recta $AB$ , tales que $\angle ACD = \angle BCE = 60^\circ, CD = 3, CE = 4$ . Halle la distancia desde el punto $C$ al centro de la circunferencia $\omega$ .

9.5 Un conjunto formado por 27 pesas: tres de masa $1$ g, tres de masa $2$ g, $\dots$ , tres de masa $9$ g, fue dividido en $9$ grupos de tres pesas cada uno. Resultó que las masas totales de las pesas en cada grupo son distintas por pares. Halle todos los valores posibles de la masa total del grupo del medio (el quinto en orden creciente).

9.2 ¿Existe una sucesión infinita $a_1, a_2, a_3, \dots$ de números naturales tal que todos sus elementos son distintos por pares y para todo número natural $n$ se cumple la igualdad \[ \frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_{n+1}} + \dots + \frac{1}{a_{2n+1}} \]?

3 Encuentra todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que $2^m=8n^6+n^2-1$.

10.3 En el triángulo $ABC$ , el punto $M$ es el punto medio del lado $AC$ , y $H$ es el punto de intersección de las alturas. La circunferencia de diámetro $BH$ interseca nuevamente en el punto $N$ a la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $C$ . Demuestre que los puntos $H$ , $M$ y $N$ están sobre una misma recta.