4 Se tiene un triángulo, $ABC$ . Trace las trisectrices internas de los ángulos. Sean las dos trisectrices más cercanas a $AB$ cortándose en $D$ , las dos trisectrices más cercanas a $BC$ cortándose en $E$ , y las dos más cercanas a $AC$ en $F$ . Demuestre que $DEF$ es equilátero.

3 Sea $n \ge 1$ un entero positivo. Una matriz $n \times n$ se llama buena si cada entrada es un entero no negativo y la suma de las entradas de cada fila y de cada columna es igual. Una matriz de permutación es una matriz $n \times n$ formada por $n$ unos y $n(n-1)$ ceros tal que cada fila y cada columna tiene exactamente una entrada no nula. Demuestre que toda matriz buena es una suma de una cantidad finita de matrices de permutación.

6 Demuestre la desigualdad \[(n + 1)\cos\frac{\pi}{n + 1}- n\cos\frac{\pi}{n}> 1\] para todo número natural $n \ge 2.$

7 $f$ y $g$ son funciones con valores reales definidas sobre la recta real. Para todo $x$ e $y, f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$ . $f$ no es idénticamente cero y $|f(x)|\le1$ para todo $x$ . Demuestre que $|g(x)|\le1$ para todo $x$ .

8 Se nos dan $3n$ puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{3n}$ en el plano, sin tres de ellos colineales. Demuestre que se pueden construir $n$ triángulos disjuntos con vértices en los puntos $A_i.$

9 Dados números naturales $k$ y $n, k \le n, n \ge 3,$ halle el conjunto de todos los valores en el intervalo $(0, \pi)$ que puede tomar el $k^{th}-$ mayor entre los ángulos interiores de un $n$ - gono convexo.

10 Dados cinco puntos en el plano, sin tres de los cuales sean colineales, demuestre que se pueden encontrar al menos dos triángulos obtusángulos con vértices en los puntos dados. Construya un ejemplo en el que haya exactamente dos de tales triángulos.

11 El menor número es $m$ y el mayor número es $M$ entre $ a_1 ,a_2 ,\ldots,a_n$ que satisfacen $ a_1 +a_2 +...+a_n =0$ . Demuestre que \[ a_1^2 +\cdots +a_n^2 \le-nmM\]

12 Se da un círculo $k = (S, r)$ y un hexágono $AA'BB'CC'$ inscrito en él. Las longitudes de los lados del hexágono satisfacen $AA' = A'B, BB' = B'C, CC' = C'A$ . Demuestre que el área $P$ del triángulo $ABC$ no es mayor que el área $P'$ del triángulo $A'B'C'$ . ¿Cuándo se cumple $P = P'$?

13 Dada una esfera $K$ , determine el conjunto de todos los puntos $A$ que son vértices de algunos paralelogramos $ABCD$ que satisfacen $AC \le BD$ y cuya diagonal completa $BD$ está contenida en $K$ .