4 La suma de los ángulos sobre la base mayor de un trapecio es $90^o$ . Demuestre que el segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de las bases es igual al segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales.

4 Una Figura Tetris es toda figura del plano que consiste en $4$ cuadrados unitarios unidos por sus lados (y que no se superponen). Dos Figuras Tetris son iguales si una puede rotarse en el plano para convertirse en la otra. a) Demuestre que existen exactamente $7$ Figuras Tetris diferentes. b) ¿Es posible llenar un rectángulo de $4 \times 7$ usando una vez cada una de las $7$ Figuras Tetris diferentes?

3 Los números racionales están escritos en la siguiente sucesión: $\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4}, . . .$ ¿En qué posición de esta sucesión se encuentra $\frac{2005}{2004}$ ?

2 Sea n un entero positivo. Demuestre la siguiente afirmación: "Si $2 + 2\sqrt{1 + 28n^2}$ es un entero, entonces es el cuadrado de un entero.

Halle todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$(x-y)f(x+y) - (x+y)f(x-y) = 2y(f(x)-f(y) - 1)$$ para todos $x, y\in\mathbb R$ .

Para un entero $n>2$ , la tupla $(1, 2, \ldots, n)$ está escrita en una pizarra. En cada turno, se pueden elegir dos números de la tupla tales que su suma sea un cuadrado perfecto e intercambiarlos para obtener una nueva tupla. Halle todos los enteros $n > 2$ para los cuales todas las permutaciones de $\{1, 2,\ldots, n\}$ pueden aparecer en la pizarra de esta manera.

1 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $x$ e $y$ , $$f(x^2)+2f(xy)=xf(x+y)+yf(x).$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Kosovo

2 Halle todos los enteros positivos $a, b, c$ tales que $ab + 1$ , $bc + 1$ y $ca + 1$ sean todos iguales a factoriales de algunos enteros positivos. Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

3 Sea $ABC$ un triángulo y $D$ un punto sobre el lado $BC$ tal que $AD$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ . Sea $E$ la intersección del lado $AB$ con la circunferencia $\omega_1$ que tiene diámetro $CD$ , y sea $F$ la intersección del lado $AC$ con la circunferencia $\omega_2$ que tiene diámetro $BD$ . Suponga que existen puntos $P\in\omega_1$ y $Q\in\omega_2$ tales que $E, P, Q$ y $F$ son colineales y en ese orden. Demuestre que $AD, BQ$ y $CP$ son concurrentes. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Kosovo y Noah Walsh, EE. UU.

4 En una pizarra, Ana escribe $a$ enteros distintos, mientras que Ben escribe $b$ enteros distintos. Luego, Ana suma cada uno de sus números con cada uno de los números de Ben y obtiene $c$ enteros distintos. Por otro lado, Ben resta cada uno de sus números de cada uno de los números de Ana y obtiene $d$ enteros distintos. Para cada entero $n$ , sea $f(n)$ el número de maneras en que $n$ puede escribirse como suma de un número de Ana y un número de Ben. a) Muestre que existe un entero $n$ tal que $$f(n)\geq\frac{ab}{c}.$$ b) ¿Existe un entero $n$ tal que $$f(n)\geq\frac{ab}{d}?$$ Propuesto por Besfort Shala, Kosovo